Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços de R^3 ? O conjunto de todos os vetores do tipo
(a) (a, b, 3)
(b) (a, b, c) onde c =a+2 b
(c) (a, b, c) onde b>0
(d) (a, b, c) onde a = 0 e b + c = 0
(e) (a, b, c) onde ab >= 0.

Passo 1

O enunciado dá cinco subconjuntos de R^3 e pede quais são subespaços. Lembrando que um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se:
  1. O vetor nulo (0,0,0) pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Conjunto (a): todos os vetores de forma (a,b,3).
O vetor nulo é (0,0,0), mas tem terceira componente 0neq3, portanto (0,0,0)notin W.
Logo (a) não é subespaço.

Passo 3

Conjunto (b): (a,b,c)mid c = a + 2b.
Verificações:
  • O nulo (0,0,0) satisfaz 0 = 0 + 2cdot0.
  • Se (a1,b1,c1) e (a2,b2,c2) satisfazem ci = ai+2bi, então
c1 + c2 = (a1+2b1)+(a2+2b2) = (a1+a2)+2(b1+b2),
logo (a1+a2,b1+b2,c1+c2) também satisfaz a relação.
  • Para escalar lambdainR,
lambda c1 = lambda(a1 + 2b1) = (lambda a1) + 2(lambda b1),
logo lambda (a1,b1,c1) permanece no conjunto.
Portanto (b) é subespaço de dimensão 2.

Passo 4

Conjunto (c): (a,b,c)mid b>0.
O vetor nulo tem b=0, não satisfaz b>0.
Logo não contém o nulo e não é subespaço.

Passo 5

Conjunto (d): (a,b,c)mid a=0,;b+c=0.
Todo vetor tem forma (0,b,-b), i.e.\ é b,(0,1,-1)
  • O nulo aparece com b=0.
  • Soma de (0,b1,-b1) e (0,b2,-b2) (0,b1+b2,-(b1+b2)).
  • Escalar lambda leva (0,b,-b) em (0,lambda b,-lambda b).
    Logo é um subespaço unidimensional gerado por (0,1,-1).

Passo 6

Conjunto (e): (a,b,c)mid ab>=0.
Contém o nulo, mas não é fechado sob soma. Por exemplo,
(1,2,0) e (-2,-1,0) estão em W pois 1cdot2>=0 e (-2)cdot(-1)>=0,
mas sua soma (-1,1,0) tem (-1)cdot1 = -1<0, logo não está em W.
Portanto (e) não é subespaço.

Resposta

(b) e (d) são subespaços de R^3.

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