Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
conjunto de todos os vetores do tipo
(a)
(b) (a, b, c) onde c
(c)
onde
(d) (a, b, c) onde a = 0 e b + c = 0
(e)
onde
.
(a)
(b) (a, b, c) onde c
(c)
(d) (a, b, c) onde a = 0 e b + c = 0
(e)
Passo 1
O enunciado dá cinco subconjuntos de
e pede quais são subespaços. Lembrando que um subconjunto
é subespaço se e somente se:
- O vetor nulo
pertence a . -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Conjunto (a): todos os vetores de forma
.
O vetor nulo é , mas tem terceira componente
, portanto
.
Logo (a) não é subespaço.
O vetor nulo é
Logo (a) não é subespaço.
Passo 3
Conjunto (b):
.
Verificações:
Verificações:
- O nulo
satisfaz . - Se
e satisfazem , então
logo
também satisfaz a relação.
- Para escalar
,
logo
permanece no conjunto.
Portanto (b) é subespaço de dimensão 2.
Portanto (b) é subespaço de dimensão 2.
Passo 4
Conjunto (c):
.
O vetor nulo tem , não satisfaz
.
Logo não contém o nulo e não é subespaço.
O vetor nulo tem
Logo não contém o nulo e não é subespaço.
Passo 5
Conjunto (d):
.
Todo vetor tem forma
, i.e.\ é
- O nulo aparece com
. - Soma de
e dá . - Escalar
leva em .
Logo é um subespaço unidimensional gerado por.
Passo 6
Conjunto (e):
.
Contém o nulo, mas não é fechado sob soma. Por exemplo,
e
estão em
pois
e
,
mas sua soma tem
, logo não está em
.
Portanto (e) não é subespaço.
Contém o nulo, mas não é fechado sob soma. Por exemplo,
mas sua soma
Portanto (e) não é subespaço.
Resposta
(b) e (d) são subespaços de
.