Quais dos seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços de R^4 ? O conjunto de todos os vetores do tipo
(a, b, c, d) onde a + b =1 e c =1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=(a,b,c,d)in R^4 mid a+b=1,;c=1
é um subespaço de R^4. Para isso, precisamos checar as propriedades de subespaço:
  1. S contém o vetor zero?
  2. S é fechado sob adição?
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar?

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0,0) pertence a S. Para isso, basta ver se ele satisfaz as condições
a+b=1e c=1
No caso de (0,0,0,0) temos a+b=0+0=0neq1 e c=0neq1. Logo,
(0,0,0,0)notin S
Isso já é suficiente para concluir que S não é subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Para reforçar, podemos checar a falta de fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
v=(a,b,c,d)in Sde modo que a+b=1,;c=1
Para um escalar lambdainR, temos
lambda v=(lambda a,lambda b,lambda c,lambda d)
onde lambda a+lambda b=lambda(a+b)=lambdacdot1=lambda, que só vale 1 se lambda=1. Além disso lambda c=lambdacdot1=lambdaneq1 em geral. Portanto lambda vnotin S para lambdaneq1, o que viola o fechamento escalar.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço de R^4.

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