Em cada um dos itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:
eixo normal:
, uma das assíntotas
e comprimento do latus rectum igual a 3.
eixo normal:
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole sabendo que um de seus eixos é a reta
(que aqui é o eixo conjugado, ou “eixo normal”), que uma assíntota é
e que o comprimento do latus rectum vale
. Vamos usar:
- o centro da hipérbole é a interseção dos eixos e das assíntotas;
- as assíntotas de uma hipérbole do tipo vertical
são
- o latus rectum tem comprimento
Passo 2
Como o eixo conjugado é
, o centro
está em
. A assíntota
também passa pelo centro, então substituindo
em
dá
Logo o centro é
.
Passo 3
Refletindo a assíntota
em torno da reta horizontal
, cada ponto
vai para
. Assim o coeficiente angular muda de
para
e o termo independente vira
A segunda assíntota é
ou, em forma centrada,
Passo 4
Comparando com
vemos que
Passo 5
Usando o latus rectum
e a fórmula
, substituímos
:
Passo 6
Portanto a hipérbole, com centro
, transversa vertical, é