Em cada um dos itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados:
eixo normal: y=2, uma das assíntotas r: 2 x-y-4=0 e comprimento do latus rectum igual a 3.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole sabendo que um de seus eixos é a reta y=2 (que aqui é o eixo conjugado, ou “eixo normal”), que uma assíntota é
r:;2x - y - 4 = 0
e que o comprimento do latus rectum vale 3. Vamos usar:
  • o centro da hipérbole é a interseção dos eixos e das assíntotas;
  • as assíntotas de uma hipérbole do tipo vertical
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1
são
y-k=pmab,(x-h);
  • o latus rectum tem comprimento
L=2b^2a

Passo 2

Como o eixo conjugado é y=2, o centro (h,k) está em y=2. A assíntota r também passa pelo centro, então substituindo y=2 em 2x-y-4=0
2x-2-4=0;Longrightarrow;x=3
Logo o centro é (h,k)=(3,2).

Passo 3

Refletindo a assíntota rcolon y=2x-4 em torno da reta horizontal y=2, cada ponto (x,y) vai para (x,2cdot2-y). Assim o coeficiente angular muda de m=2 para -2 e o termo independente vira
b'=2cdot2-(-4)=8
A segunda assíntota é
y=-2x+8,
ou, em forma centrada,
y-2=pm2,(x-3)

Passo 4

Comparando com
y-k=pmab(x-h),
vemos que
ab=2 ;Longrightarrow; b=a2

Passo 5

Usando o latus rectum L=3 e a fórmula L=2b^2a, substituímos b=a/2:
3=2,(a/2)^2a =2,a^2/4a =a2 ;Longrightarrow; a=6, b=62=3

Passo 6

Portanto a hipérbole, com centro (3,2), transversa vertical, é
(y-2)^26^2-(x-3)^23^2=1

Resposta

boxed(y-2)^236-(x-3)^29=1

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