Sejam um espaço vetorial, um elemento qualquer de e um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
a) ;
b) ;
c) ;
d) se , então ou .
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial sobre o corpo , um vetor arbitrário e um escalar . Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular:
existência de identidade escalar ();
distributividade de multiplicação escalar sobre soma de escalares e sobre soma de vetores;
existência de elemento neutro aditivo () e inverso aditivo;
propriedades do corpo (zero, unidade e inverso multiplicativo).
Com isso, provaremos as quatro afirmações pedidas.
Passo 2
Prova de .
Pela definição de múltiplo inteiro em espaços vetoriais, em . Usando distributividade sobre soma de escalares:
Como (identidade escalar), segue
Passo 3
Prova de .
Em vale . Aplicando distributividade sobre soma de escalares:
Como , o lado esquerdo é , logo
Agora somamos o inverso aditivo de em ambos os lados, obtendo
Passo 4
Prova de alphacdot 0=0.
Em V vale 0+0=0. Usando distributividade sobre soma de vetores:
alphacdot(0+0) =alphacdot 0+alphacdot 0
Como 0+0=0, o lado esquerdo é alphacdot 0, então
alphacdot 0 =alphacdot 0+alphacdot 0
Somando o inverso aditivo de alphacdot 0 em ambos os lados, concluímos
0=alphacdot 0
Passo 5
Prova de “se alphacdot v=0, então alpha=0 ou v=0”.
Suponha alphacdot v=0. Se alpha=0, a conclusão já vale. Caso alphaneq 0, como R é campo, existe alpha^-1 tal que alpha^-1alpha=1. Multiplicamos a igualdade à esquerda por alpha^-1:
alpha^-1(alphacdot v) =(alpha^-1alpha)cdot v =1cdot v =v
Mas o lado esquerdo é (alpha^-1alpha)cdot v=0, logo v=0. Assim, ou alpha=0 ou v=0.
Resposta
a) v+v+v=3,v
b) 0cdot v=0
c) alphacdot 0=0
d) Se alphacdot v=0, então alpha=0 ou v=0