Sejam V um espaço vetorial, v in V um elemento qualquer de V e alpha in R um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
a) v+v+v=3 v;
b) 0 v=0;
c) alpha 0=0;
d) se alpha cdot v=0, então alpha=0 ou v=0.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V sobre o corpo R, um vetor arbitrário vin V e um escalar alphainR. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular:
  • existência de identidade escalar ( 1cdot v=v);
  • distributividade de multiplicação escalar sobre soma de escalares e sobre soma de vetores;
  • existência de elemento neutro aditivo ( 0) e inverso aditivo;
  • propriedades do corpo R (zero, unidade e inverso multiplicativo).
    Com isso, provaremos as quatro afirmações pedidas.

Passo 2

Prova de v+v+v=3,v.
Pela definição de múltiplo inteiro em espaços vetoriais, 3=1+1+1 em R. Usando distributividade sobre soma de escalares:
3,v=(1+1+1),v =1cdot v+1cdot v+1cdot v
Como 1cdot v=v (identidade escalar), segue
3,v=v+v+v

Passo 3

Prova de 0cdot v=0.
Em R vale 0+0=0. Aplicando distributividade sobre soma de escalares:
(0+0)cdot v=0cdot v+0cdot v
Como 0+0=0, o lado esquerdo é 0cdot v, logo
0cdot v=0cdot v+0cdot v
Agora somamos o inverso aditivo de 0cdot v em ambos os lados, obtendo
0=(0cdot v+0cdot v)+(-,0cdot v) =0cdot v+(underbrace0cdot v+(-,0cdot v))=0 =0cdot v

Passo 4

Prova de alphacdot 0=0.
Em V vale 0+0=0. Usando distributividade sobre soma de vetores:
alphacdot(0+0) =alphacdot 0+alphacdot 0
Como 0+0=0, o lado esquerdo é alphacdot 0, então
alphacdot 0 =alphacdot 0+alphacdot 0
Somando o inverso aditivo de alphacdot 0 em ambos os lados, concluímos
0=alphacdot 0

Passo 5

Prova de “se alphacdot v=0, então alpha=0 ou v=0”.
Suponha alphacdot v=0. Se alpha=0, a conclusão já vale. Caso alphaneq 0, como R é campo, existe alpha^-1 tal que alpha^-1alpha=1. Multiplicamos a igualdade à esquerda por alpha^-1:
alpha^-1(alphacdot v) =(alpha^-1alpha)cdot v =1cdot v =v
Mas o lado esquerdo é (alpha^-1alpha)cdot v=0, logo v=0. Assim, ou alpha=0 ou v=0.

Resposta

a) v+v+v=3,v
b) 0cdot v=0
c) alphacdot 0=0
d) Se alphacdot v=0, então alpha=0 ou v=0

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