Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto X \subset \mathbb{R}^{3} formado pelos vetores v= ( x, y, z ) tais que z=3 x e x=2 y.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto X\subset\mathbb{R}^3 formado por todos os vetores v=(x,y,z) que satisfazem as duas restrições
z=3x
e
x=2y.
A pergunta é: esse conjunto X é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3? Lista-se explicitamente a informação relevante: as duas equações acima são as únicas condições; não há mais restrições. A resolução começa a partir dessas igualdades.

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial? Vou te explicar devagarinho. Um subconjunto S de \mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se:
  1. S não é vazio (normalmente mostramos isso exibindo o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) em S);\n
  2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S;\n
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in S.
    Esses três pontos são suficientes porque as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade etc.) já valem em \mathbb{R}^3 e são herdadas pelo subconjunto quando essas três condições se mantêm.

Passo 3

Vamos reescrever os vetores de X de forma mais simples, usando as duas relações dadas. A partir de x=2y temos x expresso em função de y. Substituindo em z=3x obtemos
z=3x=3(2y)=6y.
Portanto todo vetor v\in X é da forma
v=(x,y,z)=(2y,\;y,\;6y).
Agora fatoramos o y:
v = y\,(2,1,6).
Isso mostra algo importante: qualquer vetor de X é um múltiplo escalar do vetor (2,1,6). Também mostrou que o parâmetro livre aqui é y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Mostrando que X não é vazio: escolha y=0. Substituindo em v=y(2,1,6) obtemos
v=0\cdot(2,1,6)=(0,0,0)=\mathbf{0}.
Como o vetor nulo \mathbf{0} pertence a X, a condição 1) está satisfeita. Relaxa — já temos a base do subespaço se for subespaço.

Passo 5

Fechamento por soma (condição 2): pegue dois vetores quaisquer de X,
v_1=y_1(2,1,6),\qquad v_2=y_2(2,1,6),
com y_1,y_2\in\mathbb{R}. A soma é
v_1+v_2 = y_1(2,1,6)+y_2(2,1,6)=(y_1+y_2)(2,1,6).
Como y_1+y_2\in\mathbb{R}, o vetor v_1+v_2 também é da forma y(2,1,6) para algum y, logo v_1+v_2\in X. Assim X é fechado sob soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar (condição 3): tome um vetor qualquer de X, v=y(2,1,6), e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha v = \alpha\big(y(2,1,6)\big)=(\alpha y)(2,1,6).
Como \alpha y\in\mathbb{R}, \alpha v também tem a forma t(2,1,6) e portanto \alpha v\in X. Logo X é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Juntando os resultados: mostramos que X contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar. Portanto X satisfaz as três condições para ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Além disso, a descrição X=\{y(2,1,6)\mid y\in\mathbb{R}\} nos diz que X é uma reta passando pela origem (um subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (2,1,6). Ou seja, \{(2,1,6)\} é uma base de X.

Resposta

Sim. X é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3; X=\{t(2,1,6)\mid t\in\mathbb{R}\} (subespaço de dimensão 1, gerado por (2,1,6)).

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