Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto
formado pelos vetores
(
) tais que
e
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
formado por todos os vetores
que satisfazem as duas restrições
e
A pergunta é: esse conjunto
é um subespaço vetorial de
? Lista-se explicitamente a informação relevante: as duas equações acima são as únicas condições; não há mais restrições. A resolução começa a partir dessas igualdades.
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial? Vou te explicar devagarinho. Um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se:
-
não é vazio (normalmente mostramos isso exibindo o vetor nulo em );\n -
é fechado sob soma: se e então ;\n -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Esses três pontos são suficientes porque as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade etc.) já valem eme são herdadas pelo subconjunto quando essas três condições se mantêm.
Passo 3
Vamos reescrever os vetores de
de forma mais simples, usando as duas relações dadas. A partir de
temos
expresso em função de
. Substituindo em
obtemos
Portanto todo vetor
é da forma
Agora fatoramos o
:
Isso mostra algo importante: qualquer vetor de
é um múltiplo escalar do vetor
. Também mostrou que o parâmetro livre aqui é
.
Passo 4
Mostrando que
não é vazio: escolha
. Substituindo em
obtemos
Como o vetor nulo
pertence a
, a condição 1) está satisfeita. Relaxa — já temos a base do subespaço se for subespaço.
Passo 5
Fechamento por soma (condição 2): pegue dois vetores quaisquer de
,
com
. A soma é
Como
, o vetor
também é da forma
para algum
, logo
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação escalar (condição 3): tome um vetor qualquer de
,
, e um escalar
. Então
Como
,
também tem a forma
e portanto
. Logo
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Juntando os resultados: mostramos que
contém o vetor nulo, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar. Portanto
satisfaz as três condições para ser subespaço vetorial de
. Além disso, a descrição
nos diz que
é uma reta passando pela origem (um subespaço unidimensional) gerada pelo vetor
. Ou seja,
é uma base de
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
;
(subespaço de dimensão
, gerado por
).