Questão 7.10
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
subespaço de
.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Vou listar explicitamente o que é pedido e quais informações são dadas:
- a) Definir o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial.
- b) Mostrar que
é subespaço de . A informação dada é a equação linear que define . - c) Determinar uma base de
e a dimensão de . (Ou seja, produzir vetores que gerem e sejam linearmente independentes, e indicar o número de vetores.) - d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
. (Partir de uma base de e aplicar Gram–Schmidt, explicando passos.)
Não inicio ainda a resolução; apenas identifiquei o que é pedido e a informação dada.
Passo 2
(a) Definições pedidas — vou explicar bem devagarinho e com exemplos para fixar.
-
Definição de base: Uma coleção de vetores
em um espaço vetorial é uma base de se (i) os vetores geram (isto é, todo pode ser escrito como combinação linear para alguns escalares ) e (ii) os vetores são linearmente independentes (isto é, se uma combinação linear implica que todos os coeficientes ).
Intuição: uma base é um conjunto mínimo que serve como “tijolo” para construir qualquer vetor do espaço, sem redundância. -
Definição de dimensão: A dimensão de um espaço vetorial
é o número de vetores em qualquer base de . Em espaços finitamente gerados esse número é bem definido (todas as bases têm a mesma quantidade de vetores). Notação: .
Exemplo rápido: ema base canônica tem 3 vetores, então .
Passo 3
(b) Mostrar que
é subespaço de
.
Para provar que um subconjunto
é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
-
não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero está em ). - Fechamento por soma: se
então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
Aplicação ao nosso
:
-
O vetor zero é
. Substituindo na equação obtemos . Logo . Portanto não é vazio. -
Seja
e . Então Somando as duas igualdades obtemosisto é,satisfaz a equação e portanto . Assim é fechado por soma. -
Seja
e com . Então logo. Assim é fechado por multiplicação escalar.
Pelo critério acima,
é subespaço de
.
Passo 4
(c) Determinar uma base e a dimensão de
.
Começo parametrizando os vetores de
. A condição é
Escolho
como variáveis livres (parâmetros). Seja
com
. Então
Assim qualquer vetor de
é
Portanto
é gerado pelos três vetores
Esses três vetores geram
. Como eles são três vetores independentes em
e
é definido por uma única equação linear não trivial, intuitivamente
. Vou apresentar uma base com entradas inteiras (evita frações) e mostrar independência explicitamente.
Escolho vetores inteiros resultantes de dar valores a
iguais a
e zeros adequados (para livrar das divisões por
):
- Tomando
obtemos . - Tomando
obtemos . - Tomando
obtemos .
Verifico que
(cada um satisfaz
). Agora mostro que são linearmente independentes:
Considere
. Escrevendo coordenadas:
Da coord. 2 segue
. Da coord. 3 segue
. Da coord. 4 segue
. Assim só a combinação trivial anula, logo são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
. Conclusão:
Passo 5
(d) Aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
, partindo da base encontrada
Recordando o processo (fórmula): dado um conjunto linearmente independente
, construímos
onde
é o produto escalar usual (produto interno) em
:
.
Vou calcular passo a passo, mostrando produtos escalares e simplificações.
Passo 6
Cálculo de
e
.
-
Escolho
. Calculo : -
Calculo
: -
AssimEscrevendo coordenadas:Para facilitar cálculos e evitar frações, multiplico
por (um múltiplo escalar não altera a ortogonalidade): defino Observação:é ortogonal a porque é múltiplo de e foi construído ortogonal a . Verificação rápida:
Portanto podemos usar
e
como dois vetores ortogonais.
Passo 7
Cálculo de
(projeções e simplificação para obter vetor inteiro e simples).
Primeiro, calcule
:
Já tínhamos
. Então a projeção de
sobre
é
.
Agora preciso da projeção de
sobre
. Primeiro obtenho
e
:
-
Produto
: -
Produto
: Observação útil:(essa fatoração será útil nos cancelamentos).
A projeção de
sobre
é
pois
.
Agora aplico a fórmula (usando
no lugar de
porque é múltiplo não nulo de
):
Para evitar frações, multiplico ambos os lados por
(novamente, multiplicar por escalar não quebra a ortogonalidade):
porque
.
Agora calculo cada termo (componentes):
-
. -
. -
.
Somando:
Cuidado com o sinal final: subtrair
é equivalente a adicionar
. Assim compondo coordenadas:
- Coordenada 1:
- Coordenada 2:
- Coordenada 3:
- Coordenada 4:
Logo
Podemos simplificar dividindo por
:
E observe que todos os componentes agora são múltiplos de
; de fato dividindo por
obtemos:
Mais direto: notei que
tem fator comum
, portanto dividindo por
dá vetor com inteiros pequenos:
Esse
é múltiplo de
e, portanto, também é ortogonal a
e a
. Verifico rapidamente as ortogonalidades:
-
OK. -
OK.
Portanto
é um conjunto de três vetores mutuamente ortogonais, todos em
.
Passo 8
Resumo e indicação da base ortogonal final.
Retomando os vetores obtidos (e, se preferir, podemos escolher escalas mais simples mantendo ortogonalidade):
-
. -
. Podemos dividir por para simplificar (a divisão por escalar mantém ortogonalidade): escolho Verificação rápida:. -
(já simples e inteiro).
Os três vetores
são todos em
e mutuamente ortogonais. Assim constituem uma base ortogonal de
.
Se for preciso uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento
, mas o enunciado pediu apenas base ortogonal.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto
que gera
e é linearmente independente. A dimensão
é o número de vetores em qualquer base de
.
(b)
é subespaço de
(contém o zero, fechado por soma e por multiplicação escalar).
(c) Uma base de
é, por exemplo,
e
.
(d) Uma base ortogonal de
obtida por Gram–Schmidt é, por exemplo,