Questão 7.10
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é W=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 4 x-y+z+t=0 subespaço de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado tem quatro itens. Vou listar explicitamente o que é pedido e quais informações são dadas:
  • a) Definir o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial.
  • b) Mostrar que W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 4x-y+z+t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4. A informação dada é a equação linear que define W.
  • c) Determinar uma base de W e a dimensão de W. (Ou seja, produzir vetores que gerem W e sejam linearmente independentes, e indicar o número de vetores.)
  • d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W. (Partir de uma base de W e aplicar Gram–Schmidt, explicando passos.)
Não inicio ainda a resolução; apenas identifiquei o que é pedido e a informação dada.

Passo 2

(a) Definições pedidas — vou explicar bem devagarinho e com exemplos para fixar.
  • Definição de base: Uma coleção de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um espaço vetorial V é uma base de V se (i) os vetores geram V (isto é, todo v\in V pode ser escrito como combinação linear \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k para alguns escalares \alpha_i) e (ii) os vetores são linearmente independentes (isto é, se uma combinação linear \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 implica que todos os coeficientes \alpha_i=0).
    Intuição: uma base é um conjunto mínimo que serve como “tijolo” para construir qualquer vetor do espaço, sem redundância.
  • Definição de dimensão: A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores em qualquer base de V. Em espaços finitamente gerados esse número é bem definido (todas as bases têm a mesma quantidade de vetores). Notação: \dim(V).
    Exemplo rápido: em \mathbb{R}^3 a base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} tem 3 vetores, então \dim(\mathbb{R}^3)=3.

Passo 3

(b) Mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Para provar que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^4 é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero está em W).
  2. Fechamento por soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Aplicação ao nosso W:
  • O vetor zero é (0,0,0,0). Substituindo na equação 4x-y+z+t=0 obtemos 4\cdot0-0+0+0=0. Logo (0,0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio.
  • Seja u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Então
    4x_1-y_1+z_1+t_1=0,\qquad 4x_2-y_2+z_2+t_2=0.
    Somando as duas igualdades obtemos
    4(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2)+(t_1+t_2)=0,
    isto é, u+v satisfaz a equação e portanto u+v\in W. Assim W é fechado por soma.
  • Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W com 4x-y+z+t=0. Então
    4(\lambda x)-(\lambda y)+(\lambda z)+(\lambda t)=\lambda(4x-y+z+t)=\lambda\cdot0=0,
    logo \lambda u\in W. Assim W é fechado por multiplicação escalar.
Pelo critério acima, W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 4

(c) Determinar uma base e a dimensão de W.
Começo parametrizando os vetores de W. A condição é
4x-y+z+t=0.
Escolho y,z,t como variáveis livres (parâmetros). Seja y=a,\;z=b,\;t=c com a,b,c\in\mathbb{R}. Então
4x - a + b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{a-b-c}{4}.
Assim qualquer vetor de W é
\left(\frac{a-b-c}{4},\;a,\;b,\;c\right) = a\left(\frac{1}{4},1,0,0\right) + b\left(-\frac{1}{4},0,1,0\right) + c\left(-\frac{1}{4},0,0,1\right).
Portanto W é gerado pelos três vetores
v_1=\left(\frac{1}{4},1,0,0\right),\quad v_2=\left(-\frac{1}{4},0,1,0\right),\quad v_3=\left(-\frac{1}{4},0,0,1\right).
Esses três vetores geram W. Como eles são três vetores independentes em \mathbb{R}^4 e W é definido por uma única equação linear não trivial, intuitivamente \dim(W)=3. Vou apresentar uma base com entradas inteiras (evita frações) e mostrar independência explicitamente.
Escolho vetores inteiros resultantes de dar valores a a,b,c iguais a 4 e zeros adequados (para livrar das divisões por 4):
  • Tomando a=4,b=0,c=0 obtemos v^{(1)}=(1,4,0,0).
  • Tomando a=0,b=4,c=0 obtemos v^{(2)}=(-1,0,4,0).
  • Tomando a=0,b=0,c=4 obtemos v^{(3)}=(-1,0,0,4).
Verifico que v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)}\in W (cada um satisfaz 4x-y+z+t=0). Agora mostro que são linearmente independentes:
Considere \alpha v^{(1)}+\beta v^{(2)}+\gamma v^{(3)}=(0,0,0,0). Escrevendo coordenadas:
\alpha(1)+\beta(-1)+\gamma(-1)=0 \quad\text{(coord. 1)},
\alpha(4)+\beta(0)+\gamma(0)=0 \quad\text{(coord. 2)},
\alpha(0)+\beta(4)+\gamma(0)=0 \quad\text{(coord. 3)},
\alpha(0)+\beta(0)+\gamma(4)=0 \quad\text{(coord. 4)}.
Da coord. 2 segue \alpha\cdot4=0\Rightarrow \alpha=0. Da coord. 3 segue \beta\cdot4=0\Rightarrow \beta=0. Da coord. 4 segue \gamma\cdot4=0\Rightarrow \gamma=0. Assim só a combinação trivial anula, logo são linearmente independentes.
Portanto \{v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)}\} é uma base de W. Conclusão:
\dim(W)=3.

Passo 5

(d) Aplicar Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W, partindo da base encontrada
v_1=(1,4,0,0),\quad v_2=(-1,0,4,0),\quad v_3=(-1,0,0,4).
Recordando o processo (fórmula): dado um conjunto linearmente independente \{v_1,v_2,v_3\}, construímos
u_1=v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = v_3 - \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 - \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2,
onde \langle x,y\rangle é o produto escalar usual (produto interno) em \mathbb{R}^4: \langle x,y\rangle = x_1y_1+\cdots+x_4y_4.
Vou calcular passo a passo, mostrando produtos escalares e simplificações.

Passo 6

Cálculo de u_1 e u_2.
  • Escolho u_1=v_1=(1,4,0,0). Calculo \langle u_1,u_1\rangle:
    \langle u_1,u_1\rangle = 1^2 + 4^2 + 0 + 0 = 1+16=17.
  • Calculo \langle v_2,u_1\rangle:
    \langle v_2,u_1\rangle = (-1)\cdot1 + 0\cdot4 + 4\cdot0 + 0\cdot0 = -1.
  • Assim
    u_2 = v_2 - \frac{-1}{17}u_1 = v_2 + \frac{1}{17}u_1.
    Escrevendo coordenadas:
    u_2 = \left(-1,0,4,0\right) + \frac{1}{17}\left(1,4,0,0\right) = \left(-1+\frac{1}{17},\;0+\frac{4}{17},\;4,\;0\right).
    Para facilitar cálculos e evitar frações, multiplico u_2 por 17 (um múltiplo escalar não altera a ortogonalidade): defino
    w_2 := 17\,u_2 = 17 v_2 + u_1 = (-17,0,68,0) + (1,4,0,0) = (-16,4,68,0).
    Observação: w_2 é ortogonal a u_1 porque w_2 é múltiplo de u_2 e u_2 foi construído ortogonal a u_1. Verificação rápida:
    \langle u_1,w_2\rangle = 17\langle u_1,u_2\rangle = 17\cdot0 =0.
Portanto podemos usar u_1=(1,4,0,0) e w_2=(-16,4,68,0) como dois vetores ortogonais.

Passo 7

Cálculo de u_3 (projeções e simplificação para obter vetor inteiro e simples).
Primeiro, calcule \langle v_3,u_1\rangle:
\langle v_3,u_1\rangle = (-1)\cdot1 + 0\cdot4 + 0\cdot0 + 4\cdot0 = -1.
Já tínhamos \langle u_1,u_1\rangle=17. Então a projeção de v_3 sobre u_1 é \frac{-1}{17}u_1.
Agora preciso da projeção de v_3 sobre w_2. Primeiro obtenho \langle v_3,w_2\rangle e \langle w_2,w_2\rangle:
  • Produto \langle v_3,w_2\rangle:
    \langle v_3,w_2\rangle = (-1)(-16) + 0\cdot4 + 0\cdot68 + 4\cdot0 = 16.
  • Produto \langle w_2,w_2\rangle:
    \langle w_2,w_2\rangle = (-16)^2 + 4^2 + 68^2 + 0 = 256 + 16 + 4624 = 4896.
    Observação útil: 4896 = 17\cdot288 (essa fatoração será útil nos cancelamentos).
A projeção de v_3 sobre w_2 é
\operatorname{proj}_{w_2}(v_3) = \frac{\langle v_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle} w_2 = \frac{16}{4896} w_2 = \frac{1}{306} w_2,
pois 16/4896 = 1/306.
Agora aplico a fórmula (usando w_2 no lugar de u_2 porque é múltiplo não nulo de u_2):
u_3 = v_3 - \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 - \frac{\langle v_3,w_2\rangle}{\langle w_2,w_2\rangle} w_2 = v_3 + \frac{1}{17}u_1 - \frac{1}{306}w_2.
Para evitar frações, multiplico ambos os lados por 306 (novamente, multiplicar por escalar não quebra a ortogonalidade):
306\,u_3 = 306\,v_3 + 306\cdot\frac{1}{17}u_1 - 306\cdot\frac{1}{306}w_2 = 306v_3 + 18 u_1 - w_2,
porque 306/17=18.
Agora calculo cada termo (componentes):
  • 306v_3 = 306(-1,0,0,4) = (-306,0,0,1224).
  • 18u_1 = 18(1,4,0,0) = (18,72,0,0).
  • w_2 = (-16,4,68,0).
Somando:
306u_3 = (-306,0,0,1224) + (18,72,0,0) - (-16,4,68,0).
Cuidado com o sinal final: subtrair w_2 é equivalente a adicionar (-1)\cdot w_2. Assim compondo coordenadas:
  • Coordenada 1: -306 + 18 -(-16) = -306 + 18 +16 = -272.
  • Coordenada 2: 0 + 72 - 4 = 68.
  • Coordenada 3: 0 + 0 - 68 = -68.
  • Coordenada 4: 1224 + 0 - 0 = 1224.
Logo
306u_3 = (-272,68,-68,1224).
Podemos simplificar dividindo por 4:
\frac{306}{4}u_3 = (-68,17,-17,306).
E observe que todos os componentes agora são múltiplos de 17; de fato dividindo por 17 obtemos:
\frac{306}{68}u_3 = (-4,1,-1,18).
Mais direto: notei que (-272,68,-68,1224) tem fator comum 4\cdot17, portanto dividindo por 68=4\cdot17 dá vetor com inteiros pequenos:
u_3' = (-4,1,-1,18).
Esse u_3' é múltiplo de u_3 e, portanto, também é ortogonal a u_1 e a w_2. Verifico rapidamente as ortogonalidades:
  • \langle u_1,u_3'\rangle = 1\cdot(-4) + 4\cdot1 + 0\cdot(-1) + 0\cdot18 = -4 + 4 = 0. OK.
  • \langle w_2,u_3'\rangle = (-16)(-4) + 4\cdot1 + 68\cdot(-1) + 0\cdot18 = 64 + 4 - 68 = 0. OK.
Portanto \{u_1,\;w_2,\;u_3'\} é um conjunto de três vetores mutuamente ortogonais, todos em W.

Passo 8

Resumo e indicação da base ortogonal final.
Retomando os vetores obtidos (e, se preferir, podemos escolher escalas mais simples mantendo ortogonalidade):
  • u_1 = (1,4,0,0).
  • w_2 = (-16,4,68,0). Podemos dividir w_2 por 4 para simplificar (a divisão por escalar mantém ortogonalidade): escolho
    u_2 := \frac{1}{4}w_2 = (-4,1,17,0).
    Verificação rápida: \langle u_1,u_2\rangle = -4 + 4 = 0.
  • u_3' = (-4,1,-1,18) (já simples e inteiro).
Os três vetores u_1,\;u_2,\;u_3' são todos em W e mutuamente ortogonais. Assim constituem uma base ortogonal de W.
Se for preciso uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento \sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}, mas o enunciado pediu apenas base ortogonal.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto \{v_1,\dots,v_k\}\subset V que gera V e é linearmente independente. A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid 4x-y+z+t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4 (contém o zero, fechado por soma e por multiplicação escalar).
(c) Uma base de W é, por exemplo,
\left\{(1,4,0,0),\;(-1,0,4,0),\;(-1,0,0,4)\right\},
e \dim(W)=3.
(d) Uma base ortogonal de W obtida por Gram–Schmidt é, por exemplo,
(1,4,0,0),\quad (-4,1,17,0),\quad (-4,1,-1,18).

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