Seja S o conjunto das funções y satisfazendo a equação
2 \frac{d y}{d x}+3 y=0
(a) Mostre que o conjunto S é não vazio.
(b) Mostre que S é um subespaço do espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
2\frac{d y}{d x}+3y=0
e pede duas coisas:
Mostrar que o conjunto S das funções y que satisfazem essa equação é não vazio.
Mostrar que S é um subespaço do espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) (o espaço de todas as funções reais de variável real).
Informações relevantes fornecidas: \;y é uma função de x, ou seja \;y=y(x).
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear homogênea com coeficientes constantes.
Não há outras condições (como condição inicial); estamos apenas caracterizando todas as soluções.
Passo 2
Entendendo a equação e a estratégia para resolvê-la (aula rápida).
A equação é
2\frac{dy}{dx}+3y=0.
Isto é uma equação linear homogênea de primeira ordem. Uma forma simples e direta de resolver é tratar como equação de variáveis separáveis: isolar \frac{dy}{dx} em função de y e x. Vamos ver por que isso é possível e como fazer passo a passo.
Passo 3
Isolando a derivada para separar variáveis.
Divido ambos os lados de
2\frac{dy}{dx}+3y=0
por 2 (isso é válido porque 2\neq0) para obter
\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}y.
Aqui y depende de x, então podemos reescrever como
\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}y(x).
A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos em y multiplicando dy de um lado e todos os termos em x (aqui só dx) do outro lado.
Passo 4
Separando as variáveis e integrando.
Passo \,y para o denominador e dx para o outro lado:
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{3}{2}\,dx.
Agora integramos os dois lados. Vou explicar a regra: a integral de \frac{1}{y}\,dy é \ln|y| (logaritmo natural do valor absoluto de y), e a integral de -\tfrac{3}{2}\,dx é -\tfrac{3}{2}x mais constante. Portanto:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{3}{2}\,dx
leva a
\ln|y| = -\frac{3}{2}x + C,
onde C é uma constante real de integração (explico: toda vez que integramos aparece uma constante arbitrária porque a derivada de uma constante é zero).
Passo 5
Resolver para y explicitamente.
A partir de
\ln|y| = -\frac{3}{2}x + C
aplicamos exponencial em ambos os lados. Lembrando que e^{\ln|y|}=|y| e e^{C} é uma constante positiva; escreveremos A=e^{C}>0. Assim
|y| = A e^{-\frac{3}{2}x}.
Isso significa que y pode ser + ou - esse valor; podemos então reunir o sinal numa constante real C\in\mathbb{R} (permitindo C=0), escrevendo a solução geral
y(x) = C e^{-\frac{3}{2}x},\qquad C\in\mathbb{R}.
Aqui C é uma constante real arbitrária (pode ser zero), e e^{-\frac{3}{2}x} é a função exponencial.
Passo 6
Concluindo (a): mostrar que S é não vazio.
Do passo anterior vemos que qualquer função da forma
y(x)=C e^{-\frac{3}{2}x}
satisfaz a equação diferencial. Em particular, escolhendo C=0 obtemos a função nula
y(x)\equiv 0,
que satisfaz claramente
2\frac{d}{dx}(0)+3\cdot 0=0.
Portanto existe pelo menos uma função em S, ou seja S\neq\varnothing. Isso responde (a).
Passo 7
Caracterização completa de S (útil para (b)).
Pelo que deduzimos, o conjunto S é exatamente
S=\left\{\, y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\ \bigg|\\ y(x)=C e^{-\frac{3}{2}x}\text{ para algum }C\in\mathbb{R}\,\right\}.
É importante ter essa descrição explícita porque facilita a verificação das propriedades de subespaço.
Passo 8
Definição prática de subespaço e caminho para provar (b).
Lembrete: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço quando (i) W\neq\varnothing (ou equivalentemente 0\in W) e (ii) W é fechado para soma e multiplicação por escalares, isto é, para quaisquer u,v\in W e qualquer \alpha\in\mathbb{R} temos u+v\in W e \alpha u\in W. Vamos verificar estas propriedades para S.
Passo 9
Verificação: o vetor zero (função zero) pertence a S.
Já vimos no Passo 6 que tomando C=0 obtemos y(x)\equiv 0. Assim 0\in S. Portanto S não é vazio.
Passo 10
Verificação: fechadura para soma.
Tomemos y_1,y_2\in S. Pelas formas gerais existem C_1,C_2\in\mathbb{R} tais que
Como C_1+C_2\in\mathbb{R}, a soma tem novamente a forma C e^{-\frac{3}{2}x} com C=C_1+C_2. Logo y_1+y_2\in S. Isso prova a fechadura para soma.
Passo 11
Verificação: fechadura para multiplicação por escalar.
Se y\in S então existe C\in\mathbb{R} tal que y(x)=C e^{-\frac{3}{2}x}. Para um escalar arbitrário \alpha\in\mathbb{R} temos
(\alpha y)(x)=\alpha C\, e^{-\frac{3}{2}x}.
Como \alpha C\in\mathbb{R}, segue que \alpha y também tem a forma C' e^{-\frac{3}{2}x} e portanto \alpha y\in S. Assim S é fechado para multiplicação por escalares.
Passo 12
Conclusão (b).
Temos que 0\in S, S é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Portanto S é um subespaço do espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}). Uma observação alternativa e curta (só para contextualizar): S é o núcleo (kernel) do operador linear