Mostreque o vetor \vec{b}=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,1,2) e \vec{v}_{2}=(1,2,1). A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com 2 incógnitas, que não possui solução e que tem o vetor \vec{b} como segundo membro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor \vec b=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores \vec v_1=(1,1,2) e \vec v_2=(1,2,1). Para isso, vamos supor que existam escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,\vec v_1+\beta\,\vec v_2=\vec b
e verificar que o sistema que emerge dessa hipótese não tem solução. Em seguida, apresentaremos esse sistema linear de três equações com duas incógnitas.

Passo 2

Da igualdade \alpha\,\vec v_1+\beta\,\vec v_2=\vec b\) extraímos coordenada a coordenada: \[\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\\ \alpha+2\beta=2,\\\\ 2\alpha+\beta=2. \end{cases}
Da primeira equação segue \alpha=1-\beta\]. Substituindo na segunda, \[1-\beta+2\beta=2 \;\Longrightarrow\; 1+\beta=2 \;\Longrightarrow\; \beta=1 \;\Longrightarrow\; \alpha=0.\] Mas ao testar na terceira equação: \[2\cdot0+1=1\neq2,\] obtemos uma contradição. Portanto, não existem \(\alpha e \beta que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Passo 3

Concluímos que \vec b não pode ser escrito como combinação linear de \vec v_1 e \vec v_2. O sistema linear de três equações e duas incógnitas que exemplifica essa tentativa sem solução é
\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\\ \alpha+2\beta=2,\\\\ 2\alpha+\beta=2. \end{cases}

Resposta

\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\\ \alpha+2\beta=2,\\\\ 2\alpha+\beta=2. \end{cases}

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