Quais dos seguintes subconjuntos W abaixo são subespaços? Caso a resposta seja afirmativa, determine a dimensão de W.
W=A in M2 times 2(R): A^T=-A.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
W = A in M2times2(R) : A^T = -A
ou seja, a coleção de todas as matrizes 2times2 reais antissimétricas, verificar se isso é subespaço de M2times2(R) e, se for, determinar dim W. Vamos aplicar os critérios de subespaço e depois achar uma base.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. O elemento nulo está em W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.
  4. A matriz zero 0 = 0&00&0 satisfaz 0^T=0=-0, logo 0in W.
  5. Se A,Bin W, então
(A+B)^T ;=; A^T+B^T ;=; -A + (-B) ;=; -(A+B),
logo A+Bin W.
3. Se alphainR e Ain W, então
(alpha A)^T ;=; alpha,A^T ;=; alpha(-A) ;=; -(alpha A),
logo alpha Ain W.
Como as três condições valem, W é subespaço de M2times2(R).

Passo 3

Para determinar
e impomos . Isso dá
Logo toda como parâmetro. Uma base de é, por exemplo,
de modo que qualquer é . Portanto

Resposta

W é subespaço de M2times2(R) e dim W = 1.

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