Seja V=R^2 e considere as bases G=(2,0),(1,-1) e H=(-1,0),(0,1).
a) Determine as coordenadas de um vetor (x, y) in R^2 na base G.
b) Se as coordenadas de um vetor u na base H são dadas por [u]H=[ll4 & 3]^T, determine as coordenadas de u na base G.

Passo 1

O enunciado dá V=R^2 com bases
G=(2,0),(1,-1),
H=(-1,0),(0,1)
Na parte (a) queremos expressar o vetor genérico (x,y) como combinação linear dos vetores de G para achar [v]G. Na parte (b) temos
[u]H = 43
e precisamos obter [u]G passando pelas coordenadas canônicas.

Passo 2

Para achar as coordenadas escrevemos
Isso gera o sistema

Passo 3

Do segundo achamos b = -y. Substituindo no primeiro:
2a + (-y) = x Longrightarrow a = x + y2
Logo, para todo (x,y)inR^2,
[(x,y)]G = dfracx+y2 -,y

Passo 4

Para a parte (b), primeiro achamos u nas coordenadas canônicas a partir de [u]H:
u = 4,(-1,0) + 3,(0,1) = (-4,,3)

Passo 5

Aplicando a fórmula de [v]G com x=-4 e y=3:
[u]G = dfrac-4 + 32 -,3 = -,tfrac12 -,3

Resposta

a) Para (x,y) genérico,
[(x,y)]G = dfracx+y2-,y
b)
[u]G = -tfrac12-3

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