P 11.1. Seja lang<=, rang<= o produto interno usual de R^2. Sejam alpha=(1,2) e beta=(-1,1). Mostre que existe um vector gamma de R^2 tal que lang<=alpha, gammarang<==-1 e lang<=beta, gammarang<==3.

Passo 1

O enunciado está em R^2 com o produto interno usual. Dados
alpha = (1,2), beta = (-1,1),
precisamos encontrar gamma=(x,y) tal que
lang<= alpha,gammarang<= = -1 e lang<= beta,gammarang<= = 3

Passo 2

Escrevendo gamma=(x,y), as condições viram um sistema de equações lineares no par (x,y):
lang<= alpha,gammarang<= = 1cdot x + 2cdot y = -1,
lang<= beta,gammarang<= = (-1)cdot x + 1cdot y = 3

Passo 3

Do segundo ponto temos
-y + x = -3 Longrightarrow y = x + 3
Substituindo em x + 2y = -1:
x + 2(x+3) = -1 Longrightarrow 3x + 6 = -1 Longrightarrow 3x = -7 Longrightarrow x = -tfrac73
Logo
y = -tfrac73 + 3 = -tfrac73 + tfrac93 = tfrac23

Passo 4

Verificamos que alpha e beta são linearmente independentes em R^2, logo o sistema sempre tem solução única. Encontramos
gamma = l(-tfrac73,,tfrac23r),
que de fato satisfaz
lang<=alpha,gammarang<==-1 e lang<=beta,gammarang<==3.

Resposta

gamma = l(-tfrac73,,tfrac23r)

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