P 11.2. Seja V um espaço linear sobre o corpo dos números reais R ou dos complexos C com um produto interno, que se designa por lang<=, rang<=
a) Mostre que lang<= 0, betarang<==0 qualquer seja beta in V.
b) Mostre que se lang<=alpha, betarang<==0 qualquer seja beta in V, então alpha=0.
c) Se alpha, beta in V mostre que alpha=beta se e só se lang<=alpha, gammarang<==lang<=beta, gammarang<= qualquer seja gamma in V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três propriedades de um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= em V. Vamos usar as axiomas do produto interno:
  1. Aditividade na primeira entrada: lang<= u+v,wrang<==lang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<=.
  2. Homogeneidade na primeira entrada: lang<= lambda u,vrang<==lambda,lang<= u,vrang<= para lambdainR ou C.
  3. Definitude positiva: lang<= v,vrang<=>=0 e lang<= v,vrang<==0 se e somente se v=0.

Passo 2

Para (a), use aditividade com o vetor nulo. Como 0+0=0,
lang<= 0,,betarang<= = lang<= 0+0,,betarang<= = lang<= 0,,betarang<= + lang<= 0,,betarang<=
Subtraindo lang<= 0,betarang<= de ambos os lados vem
lang<= 0,,betarang<= = 0

Passo 3

Para (b), a hipótese é lang<= alpha,betarang<==0 para todo beta. Em particular, tome beta=alpha. Então
lang<= alpha,alpharang<= = 0
Pela definitude positiva, isso só ocorre se alpha=0.

Passo 4

Para (c), primeiro mostre “ Rightarrow”. Se alpha=beta então trivialmente
lang<= alpha,gammarang<= = lang<= beta,gammarang<=
para todo gamma.
Agora “ Leftarrow”: suponha que lang<= alpha,gammarang<==lang<= beta,gammarang<= para todo gamma. Então para qualquer gamma vale
lang<= alpha-beta,;gammarang<= = lang<= alpha,gammarang<= - lang<= beta,gammarang<= = 0
Pela parte (b), isso implica alpha-beta=0, ou seja, alpha=beta.

Resposta

(a) lang<= 0,betarang<==0 para todo beta.
(b) Se lang<= alpha,betarang<==0 para todo beta, então alpha=0.
(c) alpha=beta se e somente se lang<= alpha,gammarang<==lang<= beta,gammarang<= para todo gamma.

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