P 11.2. Seja
um espaço linear sobre o corpo dos números reais
ou dos complexos
com um produto interno, que se designa por
,
a) Mostre que
qualquer seja
.
b) Mostre que se
qualquer seja
, então
.
c) Se
mostre que
se e só se
qualquer seja
.
a) Mostre que
b) Mostre que se
c) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três propriedades de um produto interno
em
. Vamos usar as axiomas do produto interno:
- Aditividade na primeira entrada:
. - Homogeneidade na primeira entrada:
para ou . - Definitude positiva:
e se e somente se .
Passo 2
Para (a), use aditividade com o vetor nulo. Como
,
Subtraindo
de ambos os lados vem
Passo 3
Para (b), a hipótese é
para todo
. Em particular, tome
. Então
Pela definitude positiva, isso só ocorre se
.
Passo 4
Para (c), primeiro mostre “
”. Se
então trivialmente
para todo
.
Agora “ ”: suponha que
para todo
. Então para qualquer
vale
Agora “
Pela parte (b), isso implica
, ou seja,
.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) Se para todo
, então
.
(c) se e somente se
para todo
.
(b) Se
(c)