As seguintes três matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}B & 1 & 4 \\\ A & C & C\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes de um sistema com m=2 equações e n=3 incógnitas, a saber:
A = \begin{pmatrix} B & 1 & 4\\\ A & C & C \end{pmatrix}.
Queremos estudar o número de soluções:
No caso homogêneo, ou seja, lado direito b_{1}=b_{2}=0.
No caso geral, com um vetor arbitrário \bigl(b_{1},b_{2}\bigr).
Vamos aplicar o conceito de posto da matriz A, o Teorema de Rouché–Capelli e o teorema da dimensão do núcleo (posto–nulidade).
Passo 2
Primeiro, determinamos o posto de A. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
Caso genérico: as linhas (B,1,4) e (A,C,C) são independentes sempre que não existirem k tal que
(A,C,C) = k\,(B,1,4).
Se existisse tal k, teríamos C = k\cdot1 e também C = k\cdot4, levando a k = C e C = 4C, logo C=0. Então k=0 e A=0.
Conclusão:
Se \bigl(A,C\bigr)\neq(0,0), então as duas linhas são independentes e \mathrm{rank}(A)=2.
Se A=0 e C=0, então a segunda linha é nula e \mathrm{rank}(A)=1.
Passo 3
No caso homogêneo \,A\,x=0,:
Pelo teorema da dimensão do núcleo,
\dim\ker(A) = n - \mathrm{rank}(A) = 3 - \mathrm{rank}(A).
Se \mathrm{rank}(A)=2, então \dim\ker(A)=1, há infinitas soluções (além da trivial).
Se \mathrm{rank}(A)=1, então \dim\ker(A)=2, há também infinitas soluções.
Logo, em qualquer caso o sistema homogêneo tem infinitas soluções (o trivial e não-triviais).
Passo 4
No caso geral A\,x = b\), com \(b=(b_{1},b_{2})^T\):
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema é consistente (tem solução) se, e somente se,
\[\mathrm{rank}(A) \;=\;\mathrm{rank}\bigl([A\,|\,b]\bigr).
Se \mathrm{rank}(A)=2, então as colunas de A formam um subespaço de dimensão 2 em \Bbb R^2, isto é, geram todo \Bbb R^2. Portanto para todob existe solução. Como \dim\ker(A)=1, essas soluções são infinitas.
Se \mathrm{rank}(A)=1 (ou seja, A=0 e C=0), então todas as colunas de A são múltiplos de (B,1,4) na primeira linha e zero na segunda, logo geram uma reta em \Bbb R^2. Nesse caso o sistema impõe:
Se b_{2}\neq 0\], não há solução.
- Se \(b_{2}=0, a primeira equação é uma única restrição em 3 incógnitas, gerando dois graus de liberdade e, portanto, infinitas soluções.
Resposta
Homogêneo \bigl(b_{1}=b_{2}=0\bigr): sempre há infinitas soluções.
Geral \bigl(b_{1},b_{2}\bigr):
Se (A,C)\neq(0,0), o posto é 2 e há soluções infinitas para qualquer(b_{1},b_{2}).
Se A=0 e C=0, o posto é 1 e o sistema só é possível se b_{2}=0, caso em que há infinitas soluções; se b_{2}\neq0, não há solução.