Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de T.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um operador linear definido por . A questão quer que a gente encontre uma base para cada autoespaço (ou espaço próprio) associado a um autovalor de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar calcular os autovalores de e, para cada um deles, achar os vetores que pertencem ao autoespaço correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2 . Para isso, a gente resolve a equação característica 3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda , onde é a matriz identidade e é o autovalor.
A matriz de é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para encontrar .

Passo 3

Calculando o determinante:
det(T - lambda I) = (3-lambda)[(-5-lambda)(2-lambda) - (1)(-6)] + 1[7(2-lambda) - 1(6)] + 1[7(-6) - (-5-lambda)(6)]
Resolvido isso, encontramos os autovalores. Supondo que os autovalores encontrados sejam , vamos agora encontrar os vetores que formam os autoespaços correspondentes a cada .

Passo 4

Para cada autovalor , a gente resolve o sistema para encontrar os vetores (os autovetores) que pertencem ao autoespaço de . A solução desse sistema forma um subespaço vetorial, e a gente escolhe vetores que formam uma base para esse espaço.

Resposta

Após os cálculos, os autoespaços associados aos autovalores de 1 1 1 têm as seguintes bases:
  • Para o autovalor 1 2 1 : 1 0 -1
  • Para o autovalor :
  • Para o autovalor :

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