(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de .
Passo 1
Beleza, então a gente tem um operador linear definido por . A questão quer que a gente encontre uma base para cada autoespaço (ou espaço próprio) associado a um autovalor de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar calcular os autovalores de e, para cada um deles, achar os vetores que pertencem ao autoespaço correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, a gente resolve a equação característica , onde é a matriz identidade e é o autovalor.
A matriz de é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para encontrar .
Resolvido isso, encontramos os autovalores. Supondo que os autovalores encontrados sejam , vamos agora encontrar os vetores que formam os autoespaços correspondentes a cada .
Passo 4
Para cada autovalor , a gente resolve o sistema para encontrar os vetores (os autovetores) que pertencem ao autoespaço de . A solução desse sistema forma um subespaço vetorial, e a gente escolhe vetores que formam uma base para esse espaço.
Resposta
Após os cálculos, os autoespaços associados aos autovalores de 1 1 1 têm as seguintes bases: