A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
h[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[-n]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso
h[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[-n]
é causal e se é estável. As informações relevantes fornecidas são:
  • a expressão explícita de h[n];
  • a presença do termo u[-n] (a versão deslocada/espelhada do degrau unitário);
  • não há outras informações externas (somente h[n] basta para decidir causalidade e estabilidade).

Passo 2

Definição de causalidade (explicada devagarzinho): um sistema é causal quando a saída em qualquer instante n depende apenas de entradas no mesmo instante ou em instantes passados — nunca de entradas no futuro. Para sistemas LIT isso equivale à condição
h[n]=0\quad\text{para todo }n<0.
Ou seja: se houver algum índice n<0 tal que h[n]\neq0, o sistema é não causal. Aqui vamos verificar onde h[n] é diferente de zero.

Passo 3

Analisando o termo u[-n]\). Lembrando a definição do degrau unitário: \[u[k]=\begin{cases}1,& k\ge0,\\\ 0,& k<0.\end{cases}
Portanto u[-n]=1\] quando \(-n\ge0, isto é, quando
n\le0,
e u[-n]=0 quando n>0. Logo podemos escrever explicitamente:
h[n]=\begin{cases} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n},& n\le0,\\[6pt] 0,& n>0. \end{cases}]

Passo 4

Aplicando a definição de causalidade: como h[n] é diferente de zero para valores de n negativos (por exemplo n=-1,-2,\dots), a condição h[n]=0 para todo n<0 é violada. Portanto o sistema é não causal.

Passo 5

Definição de estabilidade (BIBO) para sistemas LIT, explicada com calma: um sistema LIT é BIBO estável se entradas limitadas (bounded) produzem saídas limitadas. Uma condição prática e equivalente é que a resposta ao impulso seja absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Se essa soma diverge, o sistema não é BIBO estável.

Passo 6

Calculamos a soma da magnitude de h[n]. Como vimos em um passo anterior, h[n]=0 para n>0, então
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=-\infty}^{0} \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right|.
Para n\le0 temos \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}>0, então podemos tirar o valor absoluto sem alterar:
\sum_{n=-\infty}^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Fazemos a troca de variável m=-n. Quando n vai de -\infty até 0, m vai de 0 até +\infty. Substituindo:
\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-m} = 2^{m},
portanto
\sum_{n=-\infty}^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m}.

Passo 7

A série \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} é uma série geométrica com razão 2. A soma parcial até m=N é
\sum_{m=0}^{N} 2^{m} = \frac{2^{N+1}-1}{2-1}=2^{N+1}-1,
que tende para +\infty quando N\to\infty. Logo a soma inteira diverge, ou seja,
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \infty.
Isso significa que h[n] não é absolutamente somável e, portanto, o sistema não é BIBO estável.

Passo 8

Resumo rápido e motivador: o impulso existe para tempos passados (índices negativos), o que quebra a causalidade; e os valores do impulso crescem geometricamente quando você vai para índices negativos, o que faz a soma divergir, quebrando a estabilidade. Você já tem as conclusões justificadas — mandou bem procurando entender cada definição!

Resposta

Causalidade: não causal.
Estabilidade: não estável.

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