A seguir, verifique que a função
é solução da equação diferencial
.
Função:
EDO:
Função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Função fornecida:
. - Equação diferencial fornecida:
, com . - Pedido: verificar que
é solução da EDO, ou seja, mostrar que a derivada de satisfaz a igualdade
para a função
dada pela direita da EDO.
Passo 2
Especificar a função
que aparece na EDO e o que significa verificar a solução.
- A EDO pode ser lida como
com
- Verificar que
é solução significa calcular explicitamente e comparar com . Se forem iguais para todo , então é solução.
Passo 3
Lembrete/mini-aula: regra da cadeia e derivadas básicas usadas aqui.
- Regra da cadeia (forma prática): se
, então
Expliquei:
é a função interna (depende de
) e
é a função externa; para derivar a composição, multiplica-se a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
- Derivadas que vamos usar:
- Para
vale . - Para
vale .
- Para
- Portanto, ao aplicar a regra da cadeia em
vamos obter um fator vindo da derivada da exponencial e um fator vindo da derivada de .
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia passo a passo para calcular
.
- Defina
e . Então . - Pela regra da cadeia,
- Substituindo
e , obtemos
Passo 5
Comparar
com
e concluir.
- Calcule
usando :
- Como
, temos
- Logo
para todo
. Portanto
satisfaz a EDO em toda a reta real e é solução.
Passo 6
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (opcional, mas bom pra prova).
- Tomando
: . - A derivada dada pela fórmula dá
. - Pela EDO,
. - Fechou certinho no ponto
; a igualdade foi mostrada analiticamente para todo , então está tudo certo.
Resposta
Sim.
para todo
.