A seguir, verifique que a função mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial y^{\prime}(t)=f(t, \mathcal{Y}(t)).
Função: y(t)=e^{\operatorname{sen}(\mathrm{t})}, \quad \quad EDO: y^{\prime}(t)=y(t) \cos (\mathrm{t}), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Função fornecida: \mathcal{Y}(t)=e^{\sin t}.
  • Equação diferencial fornecida: y'(t)=y(t)\cos t, com t\in\mathbb{R}.
  • Pedido: verificar que \mathcal{Y}(t) é solução da EDO, ou seja, mostrar que a derivada de \mathcal{Y} satisfaz a igualdade
\mathcal{Y}'(t)=f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr)
para a função f dada pela direita da EDO.

Passo 2

Especificar a função f que aparece na EDO e o que significa verificar a solução.
  • A EDO pode ser lida como y'(t)=f(t,y(t)) com
f(t,y)=y\cos t.
  • Verificar que \mathcal{Y} é solução significa calcular \mathcal{Y}'(t) explicitamente e comparar com f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr). Se forem iguais para todo t\in\mathbb{R}, então \mathcal{Y} é solução.

Passo 3

Lembrete/mini-aula: regra da cadeia e derivadas básicas usadas aqui.
  • Regra da cadeia (forma prática): se h(t)=g(u(t)), então
h'(t)=g'\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
Expliquei: u(t) é a função interna (depende de t) e g é a função externa; para derivar a composição, multiplica-se a derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna.
  • Derivadas que vamos usar:
    • Para g(x)=e^{x} vale g'(x)=e^{x}.
    • Para u(t)=\sin t vale u'(t)=\cos t.
  • Portanto, ao aplicar a regra da cadeia em e^{\sin t} vamos obter um fator e^{\sin t} vindo da derivada da exponencial e um fator \cos t vindo da derivada de \sin t.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia passo a passo para calcular \mathcal{Y}'(t).
  • Defina u(t)=\sin t e g(x)=e^{x}. Então \mathcal{Y}(t)=g(u(t)).
  • Pela regra da cadeia,
\mathcal{Y}'(t)=g'\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
  • Substituindo g'\bigl(u(t)\bigr)=e^{u(t)}=e^{\sin t} e u'(t)=\cos t, obtemos
\mathcal{Y}'(t)=e^{\sin t}\cos t.

Passo 5

Comparar \mathcal{Y}'(t) com f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr) e concluir.
  • Calcule f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr) usando f(t,y)=y\cos t:
f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr)=\mathcal{Y}(t)\cos t.
  • Como \mathcal{Y}(t)=e^{\sin t}, temos
f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr)=e^{\sin t}\cos t.
  • Logo
\mathcal{Y}'(t)=e^{\sin t}\cos t=f\bigl(t,\mathcal{Y}(t)\bigr)
para todo t\in\mathbb{R}. Portanto \mathcal{Y} satisfaz a EDO em toda a reta real e é solução.

Passo 6

Pequena checagem numérica para ganhar confiança (opcional, mas bom pra prova).
  • Tomando t=0: \mathcal{Y}(0)=e^{\sin 0}=e^{0}=1.
  • A derivada dada pela fórmula dá \mathcal{Y}'(0)=e^{\sin 0}\cos 0=1\cdot1=1.
  • Pela EDO, f(0,\mathcal{Y}(0))=\mathcal{Y}(0)\cos 0=1\cdot1=1.
  • Fechou certinho no ponto t=0; a igualdade foi mostrada analiticamente para todo t, então está tudo certo.

Resposta

Sim. \mathcal{Y}'(t)=\mathcal{Y}(t)\cos t para todo t\in\mathbb{R}.

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