(Segunda Chamada - 2024.2) ( 2,0 ) Suponha que o tempo, em segundos, entre duas chegadas consecutivas de mensagens eletrônicas em seu computador seja descrito por uma variável aleatória T, com distribuição geométrica com parâmetro p.
(a) Calcule o valor esperado de T, E(T).
(b) Supondo E(T)=2, qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de um minuto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: o tempo, em segundos, entre duas chegadas consecutivas de mensagens é uma variável aleatória T com distribuição geométrica de parâmetro p.
  • Pergunta (a): Calcular o valor esperado de T, isto é \mathbb{E}(T).
  • Pergunta (b): Supondo que \mathbb{E}(T)=2, qual é a probabilidade de não receber nenhuma mensagem durante o período de um minuto (60 segundos)?

Passo 2

Escolha da convenção para a distribuição geométrica (importante): existem duas convenções usadas em livros —
  1. suporte \{0,1,2,\dots\} com \mathbb{P}(T=k)=(1-p)^k p, média \dfrac{1-p}{p};
  2. suporte \{1,2,3,\dots\} com \mathbb{P}(T=k)=(1-p)^{k-1} p, média \dfrac{1}{p}.
Aqui vou usar a convenção mais comum quando T representa “número de segundos até a próxima chegada” contado a partir do segundo 1, isto é
\mathbb{P}(T=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\dots
Se preferir outra convenção, avise — mas a escolha feita é consistente com a forma direta de interpretar “tempo, em segundos, entre chegadas” e com a forma como a parte (b) usa \mathbb{E}(T).

Passo 3

Vamos calcular \mathbb{E}(T) usando a definição de esperança para variáveis discretas e uma soma de série.
Definição:
\mathbb{E}(T)=\sum_{k=1}^{\infty} k\,\mathbb{P}(T=k)=\sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1} p.
Para simplificar a soma, defina q:=1-p (então 0\le q<1). A soma fica
\mathbb{E}(T)=p\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}.
Agora usamos a identidade para a série geométrica derivada. A soma geométrica básica é
\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}=\frac{1}{1-q}\quad\text{para }|q|<1.
Derivando ambos os lados em relação a q (um truque padrão para obter somas com o fator k) obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}.
Substituindo na expressão de \mathbb{E}(T):
\mathbb{E}(T)=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}.
Lembrando que q=1-p, temos 1-q=p. Portanto
\mathbb{E}(T)=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.
Assim chegamos ao resultado final para (a):
\mathbb{E}(T)=\frac{1}{p}.
Observação alternativa (útil para a prova): existe também a fórmula de soma de caudas para variáveis inteiras não-negativas,
\mathbb{E}(T)=\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(T\ge k).
No caso geométrico \mathbb{P}(T\ge k)=q^{k-1}, e a soma \sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=1/(1-q)=1/p leva ao mesmo resultado de maneira mais direta.

Passo 4

Agora a parte (b). Se \mathbb{E}(T)=2, da fórmula \mathbb{E}(T)=1/p obtemos
\frac{1}{p}=2\quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{2}.
Queremos a probabilidade de não receber nenhuma mensagem durante um minuto (60 s). Isso equivale a dizer que o tempo até a próxima chegada é maior que 60 segundos, ou seja T>60. Para a geométrica (convenção usada),
\mathbb{P}(T>60)=(1-p)^{60}=q^{60}.
Com p=\tfrac{1}{2} temos q=1-p=\tfrac{1}{2}, logo
\mathbb{P}(T>60)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{60}=2^{-60}.
Esse é o valor exato. Se quiser uma aproximação decimal,
2^{-60}\approx 8{,}6736\times10^{-19}.

Resposta

\mathbb{E}(T)=\dfrac{1}{p}.
\mathbb{P}(\text{nenhuma mensagem em 60 s})=\left(1-p\right)^{60}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{60}=2^{-60}\approx8{,}6736\times10^{-19}.

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