(Segunda Chamada - 2024.2) ( 2,0 ) Suponha que o tempo, em segundos, entre duas chegadas consecutivas de mensagens eletrônicas em seu computador seja descrito por uma variável aleatória
, com distribuição geométrica com parâmetro
.
(a) Calcule o valor esperado de
.
(b) Supondo
, qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de um minuto?
(a) Calcule o valor esperado de
(b) Supondo
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: o tempo, em segundos, entre duas chegadas consecutivas de mensagens é uma variável aleatória
com distribuição geométrica de parâmetro . - Pergunta (a): Calcular o valor esperado de
, isto é . - Pergunta (b): Supondo que
, qual é a probabilidade de não receber nenhuma mensagem durante o período de um minuto (60 segundos)?
Passo 2
Escolha da convenção para a distribuição geométrica (importante): existem duas convenções usadas em livros —
- suporte
com , média ; - suporte
com , média .
Aqui vou usar a convenção mais comum quando
representa “número de segundos até a próxima chegada” contado a partir do segundo 1, isto é
Se preferir outra convenção, avise — mas a escolha feita é consistente com a forma direta de interpretar “tempo, em segundos, entre chegadas” e com a forma como a parte (b) usa
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição de esperança para variáveis discretas e uma soma de série.
Definição:
Para simplificar a soma, defina
(então
). A soma fica
Agora usamos a identidade para a série geométrica derivada. A soma geométrica básica é
Derivando ambos os lados em relação a
(um truque padrão para obter somas com o fator
) obtemos
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, temos
. Portanto
Assim chegamos ao resultado final para (a):
Observação alternativa (útil para a prova): existe também a fórmula de soma de caudas para variáveis inteiras não-negativas,
No caso geométrico
, e a soma
leva ao mesmo resultado de maneira mais direta.
Passo 4
Agora a parte (b). Se
, da fórmula
obtemos
Queremos a probabilidade de não receber nenhuma mensagem durante um minuto (60 s). Isso equivale a dizer que o tempo até a próxima chegada é maior que 60 segundos, ou seja
. Para a geométrica (convenção usada),
Com
temos
, logo
Esse é o valor exato. Se quiser uma aproximação decimal,