(2,0) Uma fábrica de componentes eletrônicos produz grandes lotes de peças, dos quais uma parte é defeituosa. Em um lote de 100 peças, sabe-se que 20 são defeituosas. Um engenheiro de controle de qualidade seleciona 10 peças sem reposição para inspeção.
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma das peças selecionadas seja defeituosa?
(b) Determine o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números diretamente do texto):
  • Tamanho do lote (população): N=100.
  • Número de peças defeituosas no lote: K=20.
  • Tamanho da amostra sem reposição: n=10.
O que é pedido:
(a) Calcular a probabilidade de que pelo menos uma das n=10 peças selecionadas seja defeituosa.
(b) Calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.

Passo 2

Modelagem do problema e fórmula fundamental (explicação passo a passo).
  • Como a amostra é feita sem reposição a partir de uma população finita com K sucessos (defeituosas) em N itens, o número de defeituosas na amostra X segue a distribuição hipergeométrica.
  • A fórmula da função de probabilidade para X=k é:
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
onde \binom{a}{b} é o número de combinações de b elementos dentre a. Explicando essa fórmula em palavras: escolher k defeituosas dentre as K disponíveis e escolher os n-k não-defeituosos dentre os N-K restantes, dividido pelo número total de amostras possíveis \binom{N}{n}.

Passo 3

Resolvendo (a) — probabilidade de pelo menos uma defeituosa.
  • “Pelo menos uma” é o complementar do evento “nenhuma defeituosa”. Então:
P(\text{pelo menos 1 defeituosa}) = 1 - P(X=0).
  • Aplicando a fórmula hipergeométrica para k=0:
P(X=0)=\frac{\binom{K}{0}\,\binom{N-K}{n}}{\binom{N}{n}}=\frac{\binom{80}{10}}{\binom{100}{10}},
pois peguei \,N-K=100-20=80 e \,K=20 do enunciado.
  • Uma forma prática de calcular \dfrac{\binom{80}{10}}{\binom{100}{10}} sem manipular combinações gigantes é usar a representação em produto:
P(X=0)=\prod_{i=0}^{9}\frac{80-i}{100-i} =\frac{80}{100}\cdot\frac{79}{99}\cdot\frac{78}{98}\cdots\frac{71}{91}.
  • Calculando a sequência numérica (apenas aproximações decimais para facilitar a conta manual):
\frac{80}{100}=0,8,\quad \frac{79}{99}\approx0,7979798,\quad \frac{78}{98}\approx0,7959184,\\ \ldots,\\ \frac{71}{91}\approx0,7802198.
Multiplicando todos os termos obtém-se (aproximação):
P(X=0)\approx0,09512.
  • Logo
P(\text{pelo menos 1 defeituosa})=1-P(X=0)\approx1-0,09512\approx0,90488.

Passo 4

Interpretação rápida do resultado de (a) (para te dar confiança)
  • O resultado indica que, ao retirar 10 peças de um lote com 20\% de defeituosas, há cerca de 90{,}5\% de chance de aparecer pelo menos uma defeituosa — faz sentido intuitivamente porque n é razoavelmente grande comparado à proporção de defeituosos.

Passo 5

Resolvendo (b) — valor esperado e desvio padrão (explicando a fórmula e porquê).
  • Para a distribuição hipergeométrica vale a fórmula conhecida para o valor esperado:
\mathbb{E}(X)=n\cdot\frac{K}{N}.
Explicação: em média, a fração de defeituosas na amostra é a mesma da população, então \,n vezes essa fração dá o valor esperado.
  • Substituindo os números que pegamos do enunciado:
\mathbb{E}(X)=10\cdot\frac{20}{100}=10\cdot0{,}2=2.
  • Para a variância da hipergeométrica a fórmula é
\mathrm{Var}(X)=n\cdot\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\cdot\frac{N-n}{N-1}.
Explicação do que cada fator significa:
  • n e \dfrac{K}{N} aparecem como em n provas com probabilidade média \dfrac{K}{N};
  • \left(1-\dfrac{K}{N}\right) é a parte complementar que aparece no termo de variância de Bernoulli;
  • \dfrac{N-n}{N-1} é a correção por população finita (FPC), que reduz a variância porque a amostragem sem reposição gera dependência entre observações.
  • Substituindo:
\mathrm{Var}(X)=10\cdot0{,}2\cdot0{,}8\cdot\frac{90}{99}.
  • Simplificando passo a passo:
10\cdot0{,}2=2,\qquad 2\cdot0{,}8=1{,}6,\qquad \frac{90}{99}=\frac{10}{11}\approx0{,}9090909,
portanto
\mathrm{Var}(X)=1{,}6\cdot\frac{10}{11}=\frac{16}{11}\approx1{,}454545.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{\frac{16}{11}}=\frac{4}{\sqrt{11}}\approx1{,}205.

Passo 6

Resumo final (prepare-se para a prova: memorize as fórmulas-chave)
  • Fórmula de probabilidade hipergeométrica: P(X=k)=\dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}.
  • Complemento para “pelo menos um”: 1-P(X=0) com P(X=0)=\dfrac{\binom{N-K}{n}}{\binom{N}{n}}.
  • Expectativa: \mathbb{E}(X)=n\cdot\frac{K}{N}.
  • Variância: \mathrm{Var}(X)=n\cdot\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.

Resposta

(a) P(\text{pelo menos 1 defeituosa})=1-\dfrac{\binom{80}{10}}{\binom{100}{10}}\approx0,9049
(b) \mathbb{E}(X)=2 \quad e \quad \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\dfrac{4}{\sqrt{11}}\approx1,205

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