Uma fábrica de componentes eletrônicos produz grandes lotes de peças, dos quais uma parte é defeituosa. Em um lote de 100 peças, sabe-se que 20 são defeituosas. Um engenheiro de controle de qualidade seleciona 10 peças sem reposição para inspeção.
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma das peças selecionadas seja defeituosa?
(b) Determine o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma das peças selecionadas seja defeituosa?
(b) Determine o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números diretamente do texto):
- Tamanho do lote (população):
. - Número de peças defeituosas no lote:
. - Tamanho da amostra sem reposição:
.
O que é pedido:
(a) Calcular a probabilidade de que pelo menos uma das peças selecionadas seja defeituosa.
(b) Calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.
(a) Calcular a probabilidade de que pelo menos uma das
(b) Calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de peças defeituosas na amostra.
Passo 2
Modelagem do problema e fórmula fundamental (explicação passo a passo).
- Como a amostra é feita sem reposição a partir de uma população finita com
sucessos (defeituosas) em itens, o número de defeituosas na amostra segue a distribuição hipergeométrica. - A fórmula da função de probabilidade para
é:
onde
é o número de combinações de
elementos dentre
. Explicando essa fórmula em palavras: escolher
defeituosas dentre as
disponíveis e escolher os
não-defeituosos dentre os
restantes, dividido pelo número total de amostras possíveis
.
Passo 3
Resolvendo (a) — probabilidade de pelo menos uma defeituosa.
- “Pelo menos uma” é o complementar do evento “nenhuma defeituosa”. Então:
- Aplicando a fórmula hipergeométrica para
:
pois peguei
e
do enunciado.
- Uma forma prática de calcular
sem manipular combinações gigantes é usar a representação em produto:
- Calculando a sequência numérica (apenas aproximações decimais para facilitar a conta manual):
Multiplicando todos os termos obtém-se (aproximação):
- Logo
Passo 4
Interpretação rápida do resultado de (a) (para te dar confiança)
- O resultado indica que, ao retirar 10 peças de um lote com
de defeituosas, há cerca de de chance de aparecer pelo menos uma defeituosa — faz sentido intuitivamente porque é razoavelmente grande comparado à proporção de defeituosos.
Passo 5
Resolvendo (b) — valor esperado e desvio padrão (explicando a fórmula e porquê).
- Para a distribuição hipergeométrica vale a fórmula conhecida para o valor esperado:
Explicação: em média, a fração de defeituosas na amostra é a mesma da população, então
vezes essa fração dá o valor esperado.
- Substituindo os números que pegamos do enunciado:
- Para a variância da hipergeométrica a fórmula é
Explicação do que cada fator significa:
-
e aparecem como em provas com probabilidade média ; -
é a parte complementar que aparece no termo de variância de Bernoulli; -
é a correção por população finita (FPC), que reduz a variância porque a amostragem sem reposição gera dependência entre observações. - Substituindo:
- Simplificando passo a passo:
portanto
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 6
Resumo final (prepare-se para a prova: memorize as fórmulas-chave)
- Fórmula de probabilidade hipergeométrica:
. - Complemento para “pelo menos um”:
com . - Expectativa:
. - Variância:
.
Resposta
(a)
(b)
e