A segunda derivada da função y= f (x) = x. sen (x) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a segunda derivada da função $ y = f(x) = x \cdot \sin(x) $. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto, que é usada quando temos a derivada de dois termos multiplicados, e também lembrar como derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ y = x \cdot \sin(x) $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que nos diz que se temos uma função $ y = u \cdot v $, então a derivada $ y’ $ é:
y = x cdot sin(x)
Aqui, $ u = x $ e $ v = \sin(x) $.
Calculando as derivadas individuais:
y = u cdot v
y'
Agora, aplicando a Regra do Produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $, que é a derivada da primeira derivada $ y’ = \sin(x) + x \cos(x) $.
Novamente, aplicamos a Regra do Produto para o termo $ x \cos(x) $.
Primeiro, derivamos cada termo:
y''
Para $ x \cos(x) $:
y' = sin(x) + x cos(x)
x cos(x)
Aplicando a Regra do Produto:
ddx(sin(x)) = cos(x)
Então, juntando tudo:
x cos(x)

Resposta

A segunda derivada da função $ y = x \cdot \sin(x) $ é:
y = x cdot sin(x)

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