A segunda derivada da função y= f (x) = x. sen (x) é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a segunda derivada da função $ y = f(x) = x \cdot \sin(x) $. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra do Produto, que é usada quando temos a derivada de dois termos multiplicados, e também lembrar como derivar funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ y = x \cdot \sin(x) $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que nos diz que se temos uma função $ y = u \cdot v $, então a derivada $ y’ $ é:
Aqui, $ u = x $ e $ v = \sin(x) $.
Calculando as derivadas individuais:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $, que é a derivada da primeira derivada $ y’ = \sin(x) + x \cos(x) $.
Novamente, aplicamos a Regra do Produto para o termo $ x \cos(x) $.
Primeiro, derivamos cada termo:
Para $ x \cos(x) $:
Aplicando a Regra do Produto:
Então, juntando tudo:
Resposta
A segunda derivada da função $ y = x \cdot \sin(x) $ é: