Quantos grupos de 5 pessoas podem ser formadas com 50 pessoas

Passo 1

Então, a gente tem 50 pessoas e precisa formar grupos de 5 pessoas. O conteúdo que vamos usar aqui é o de combinação, que serve para calcular de quantas maneiras podemos escolher um grupo sem se importar com a ordem dos elementos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Aqui, $ n $ é o total de elementos (50 pessoas) e $ k $ é o número de elementos que queremos escolher (5 pessoas).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
C(50, 5) = 50!5! times (50 - 5)! = 50!5! times 45!

Passo 4

Agora, para simplificar, sabemos que $ 50! = 50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45! $. Então, podemos cancelar o $ 45! $ no numerador e no denominador:
50! = 50 times 49 times 48 times 47 times 46 times 45!

Passo 5

Calculando o denominador, temos $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os números do numerador:
50 times 49 = 2450 2450 times 48 = 117600 117600 times 47 = 5527200 5527200 times 46 = 254251200

Passo 7

Dividindo o resultado pelo denominador:
254251200120 = 2118760

Resposta

Podem ser formados 2.118.760 grupos diferentes de 5 pessoas com 50 pessoas.

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