Segunda Questão (2,5pts): Seja S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que está no primeiro octante. Calcule
\iint_{S}\left(x^{2} z+y^{2} z-2 x\right) d S
Passo 1
O enunciado dá:
A superfície S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que está no primeiro octante (ou seja, com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0).
Precisa-se calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2} z+y^{2} z-2 x\right)\,dS.
Pergunta claramente: qual é o valor numérico dessa integral definida sobre a porção esférica indicada.
Passo 2
Escolha do método e parâmetros: para integrar sobre uma porção de esfera é natural usar coordenadas esféricas com raio fixo. Vou definir as coordenadas esféricas padrão (com sentido físico usual):
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Para a esfera dada temos \rho=\sqrt{3} constante.
Como estamos no primeiro octante (x\ge0,y\ge0,z\ge0), os ângulos variam em
Fórmula do elemento de área em esfera de raio R: para \rho=R constante a parametrização da superfície por (\varphi,\theta) dá o elemento de área
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida (intuição): um pequeno retângulo em (\varphi,\theta) tem lados aproximados R\,d\varphi e R\sin\varphi\,d\theta, portanto área R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Aqui R=\rho=\sqrt{3}.
Passo 4
Substituir x,y,z no integrando. Calcule term por term:
I = 9\sqrt{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta \;-\;6\sqrt{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.
Passo 7
Calcule a primeira parcela. Trate a integral em \varphi usando a substituição u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi: