Segunda Questão (2,5pts): Seja S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que está no primeiro octante. Calcule
\iint_{S}\left(x^{2} z+y^{2} z-2 x\right) d S

Passo 1

O enunciado dá:
  • A superfície S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 que está no primeiro octante (ou seja, com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0).
  • Precisa-se calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2} z+y^{2} z-2 x\right)\,dS.
Pergunta claramente: qual é o valor numérico dessa integral definida sobre a porção esférica indicada.

Passo 2

Escolha do método e parâmetros: para integrar sobre uma porção de esfera é natural usar coordenadas esféricas com raio fixo. Vou definir as coordenadas esféricas padrão (com sentido físico usual):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Para a esfera dada temos \rho=\sqrt{3} constante.
  • Como estamos no primeiro octante ( x\ge0,y\ge0,z\ge0), os ângulos variam em
\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Fórmula do elemento de área em esfera de raio R: para \rho=R constante a parametrização da superfície por (\varphi,\theta) dá o elemento de área
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida (intuição): um pequeno retângulo em (\varphi,\theta) tem lados aproximados R\,d\varphi e R\sin\varphi\,d\theta, portanto área R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Aqui R=\rho=\sqrt{3}.

Passo 4

Substituir x,y,z no integrando. Calcule term por term:
  • Primeiro, calcular x^{2}z:
x^{2}z = (\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}\cdot(\rho\cos\varphi) = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta\cos\varphi.
  • Em seguida, y^{2}z:
y^{2}z = (\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2}\cdot(\rho\cos\varphi) = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta\cos\varphi.
  • Somando esses dois termos usa-se \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1:
x^{2}z+y^{2}z = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi.
  • Finalmente o termo -2x:
-2x = -2\rho\sin\varphi\cos\theta.
Portanto o integrando em coordenadas esféricas fica
x^{2}z+y^{2}z-2x = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi - 2\rho\sin\varphi\cos\theta.

Passo 5

Multiplicar o integrando por dS= \rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Assim a integral sobre S vira
\iint_{S}\!\bigl(x^{2} z+y^{2} z-2 x\bigr)\,dS = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2} \Bigl(\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi - 2\rho\sin\varphi\cos\theta\Bigr)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Juntando potências de \rho e fatores de \sin\varphi:
= \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} \Bigl(\rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi - 2\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\Bigr)\,d\varphi\,d\theta.
Agora substituo \rho=\sqrt{3}. Calcule \rho^{3} e \rho^{5}:
\rho^{3}=(\sqrt{3})^{3}=3\sqrt{3},\qquad \rho^{5}=(\sqrt{3})^{5}=9\sqrt{3}.
Logo o integrando fica
9\sqrt{3}\,\sin^{3}\varphi\cos\varphi \;-\; 6\sqrt{3}\,\sin^{2}\varphi\cos\theta.

Passo 6

Escrevendo a integral dupla com os fatores numéricos separados:
I=\iint_{S}\bigl(\cdots\bigr)\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(9\sqrt{3}\sin^{3}\varphi\cos\varphi - 6\sqrt{3}\sin^{2}\varphi\cos\theta\Bigr)\,d\varphi\,d\theta.
Separe em duas parcelas lineares:
I = 9\sqrt{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta \;-\;6\sqrt{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calcule a primeira parcela. Trate a integral em \varphi usando a substituição u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{u=0}^{1}u^{3}\,du = \frac{1}{4}.
A integral em \theta sobre [0,\pi/2] dá simplesmente \pi/2. Portanto a primeira parcela vale
9\sqrt{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\sqrt{3}\pi}{8}.

Passo 8

Calcule a segunda parcela. Aqui as variáveis se separam:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right).
Calcule cada uma:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2}=1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \frac{\pi}{4}
(lembrando que \int\sin^{2}\varphi\,d\varphi = \tfrac{\varphi}{2}-\tfrac{\sin 2\varphi}{4}). Portanto a segunda parcela é
6\sqrt{3}\cdot 1\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{6\sqrt{3}\pi}{4}=\frac{3\sqrt{3}\pi}{2}.

Passo 9

Juntando as duas parcelas obtidas:
I = \frac{9\sqrt{3}\pi}{8} - \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}.

Resposta

-\dfrac{3\sqrt{3}\pi}{8}

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