Determine os valores de
para os quais a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita cujo termo geral é
para
. A pergunta é: determinar todos os valores de
para os quais a série
é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
- A série é do tipo soma de termos definidos por uma expressão racional em
que depende do parâmetro . - Não foi dada restrição prévia sobre
; procurar valores reais de que tornam a série convergente.
Passo 2
Vamos manipular algebricamente o termo geral para separar partes mais simples. Escrevo
Note que a separação é apenas uma reorganização: somei e subi
para obter a forma acima.
Explicando devagar:
- O primeiro termo
é um múltiplo da série harmônica . - O segundo termo
tem aparência de diferença telescópica; veremos isso na prática.
Passo 3
Analiso a segunda soma isoladamente. Observe que
Essa sequência de termos gera uma série telescópica. Calculo a soma parcial até
:
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Tomando
obtém-se
Portanto essa parte da série é convergente (e sua soma é
).
Passo 4
Reescrevendo a série total usando a decomposição do Passo 2 temos
Do Passo 3 sabemos que a segunda soma converge (vale
). Logo a convergência da série total depende apenas da primeira soma
Passo 5
Recordando um fato básico (que é essencial aqui): a série harmônica
diverge. Uma justificativa rápida é o teste da integral (ou o argumento clássico de comparação em blocos); o importante é que a soma
cresce sem limite.
Assim, se
então
diverge (um múltiplo não nulo de uma série divergente é divergente). Logo para qualquer
com
a série original diverge.
Se
, ou seja
, então a primeira soma desaparece e a série reduz-se exatamente à soma telescópica do Passo 3, que converge.
Para reforçar rigorosamente o caso
por outro caminho: aplicando o teste da comparação limite com a série harmônica, calcule o limite
Se
esse limite é um número finito não nulo, portanto pela comparação limite a série
converge ou diverge juntamente com
. Como a harmônica diverge,
diverge.
Passo 6
Conclusão: a única escolha de
que zera a parte divergente e deixa apenas a parte telescópica é
. Nesse caso a série converge e sua soma é