Determine os valores de c para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{c}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita cujo termo geral é
a_n=\left(\frac{c}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
para n=1,2,3,\dots. A pergunta é: determinar todos os valores de c para os quais a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
é convergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é do tipo soma de termos definidos por uma expressão racional em n que depende do parâmetro c.
  • Não foi dada restrição prévia sobre c; procurar valores reais de c que tornam a série convergente.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente o termo geral para separar partes mais simples. Escrevo
\frac{c}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{c-1}{n}+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Note que a separação é apenas uma reorganização: somei e subi \dfrac{1}{n} para obter a forma acima.
Explicando devagar:
  • O primeiro termo \dfrac{c-1}{n} é um múltiplo da série harmônica \sum \dfrac{1}{n}.
  • O segundo termo \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} tem aparência de diferença telescópica; veremos isso na prática.

Passo 3

Analiso a segunda soma isoladamente. Observe que
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.
Essa sequência de termos gera uma série telescópica. Calculo a soma parcial até N:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right).
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{N+1}.
Tomando N\to\infty obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1.
Portanto essa parte da série é convergente (e sua soma é 1).

Passo 4

Reescrevendo a série total usando a decomposição do Passo 2 temos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{c}{n}-\frac{1}{n+1}\right) =(c-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Do Passo 3 sabemos que a segunda soma converge (vale 1). Logo a convergência da série total depende apenas da primeira soma
(c-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.

Passo 5

Recordando um fato básico (que é essencial aqui): a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Uma justificativa rápida é o teste da integral (ou o argumento clássico de comparação em blocos); o importante é que a soma \sum 1/n cresce sem limite.
Assim, se c-1\neq 0 então (c-1)\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (um múltiplo não nulo de uma série divergente é divergente). Logo para qualquer c com c\neq 1 a série original diverge.
Se c-1=0, ou seja c=1, então a primeira soma desaparece e a série reduz-se exatamente à soma telescópica do Passo 3, que converge.
Para reforçar rigorosamente o caso c\neq1 por outro caminho: aplicando o teste da comparação limite com a série harmônica, calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{c}{n}-\dfrac{1}{n+1}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\left(c-\frac{n}{n+1}\right)=c-1.
Se c-1\neq0 esse limite é um número finito não nulo, portanto pela comparação limite a série \sum a_n converge ou diverge juntamente com \sum 1/n. Como a harmônica diverge, \sum a_n diverge.

Passo 6

Conclusão: a única escolha de c que zera a parte divergente e deixa apenas a parte telescópica é c=1. Nesse caso a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1.

Resposta

c=1

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