Seja f(x)=\frac{x^{2}+2}{3-x^{2}}-x \mathrm{e}^{x}.
(a) Determine onde f é descontínua. Justifique.
(b) A seguinte afirmativa é VERDADEIRA, FALSA ou INCONCLUSIVA?
Existe pelo menos um número \lambda \in(0,1) tal que f(\lambda)=0
Justifique sua resposta, citando teoremas e respectivas condições precisamente.
Obs.: lembre-se que \mathrm{e}^{0}=1, \quad \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e} \approx 2.71

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele nos dá.
  • Função dada:
f(x)=\frac{x^{2}+2}{3-x^{2}}-x\mathrm{e}^{x}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar onde f é descontínua; justificar.
    (b) Decidir se a afirmação "Existe pelo menos um número \lambda\in(0,1) tal que f(\lambda)=0" é VERDADEIRA, FALSA ou INCONCLUSIVA; justificar citando teoremas e condições.
  • Dados auxiliares fornecidos:
    \mathrm{e}^{0}=1 e \mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,71.

Passo 2

Entender a estrutura da função e quando ela pode falhar em ser contínua.
  • Observação das partes: f é diferença de duas funções:
    1. g(x)=\dfrac{x^{2}+2}{3-x^{2}} (uma função racional),
    2. h(x)=x\mathrm{e}^{x} (produto de polinômio por exponencial).
  • Fatos básicos (que vou usar):
    • Qualquer polinômio é contínuo em \mathbb{R}.
    • A função x\mapsto \mathrm{e}^{x} é contínua em \mathbb{R}.
    • Produto e soma (ou diferença) de funções contínuas são contínuas no interseção dos domínios.
    • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)}, com p,q polinômios, é contínua em todos os pontos onde q(x)\neq0; se q(x)=0 e o numerador não zera na mesma raiz, há descontinuidade (tipicamente vertical).
  • Aplicando ao caso:
    • h(x)=x\mathrm{e}^{x} é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
    • g(x)=\dfrac{x^{2}+2}{3-x^{2}} tem denominador 3-x^{2}. Zeros do denominador resolvem 3-x^{2}=0, ou seja x=\pm\sqrt{3}.
    • Calcular o numerador nesses pontos: para x=\pm\sqrt{3} tem-se x^{2}+2=3+2=5\neq0. Portanto o numerador não anula o denominador nesses pontos: a fração tende a infinito ao aproximar-se de x=\pm\sqrt{3}.
  • Conclusão parcial (antes de formalizar): g está indefinida em x=\pm\sqrt{3} e apresenta comportamentos de tipo assimptótico (diverge), enquanto h é finita lá; assim f=g-h estará indefinida/divergente em x=\pm\sqrt{3}.

Passo 3

Mostrar rigorosamente que em x=\pm\sqrt{3} há descontinuidade.
  • Domínio natural de f: todos os x\in\mathbb{R} tais que 3-x^{2}\neq0. Logo o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{\,-\sqrt{3},\sqrt{3}\,\}.
  • Analisar o comportamento de g(x)=\dfrac{x^{2}+2}{3-x^{2}} perto de x=\sqrt{3}. Como x^{2}+2\to5 quando x\to\sqrt{3} e 3-x^{2}\to0, o quociente diverge. Para ver o sinal:
    • Se x\to\sqrt{3}^{-} (aproximação pela esquerda), então x^{2}<3 e 3-x^{2}>0 é pequeno, logo \dfrac{x^{2}+2}{3-x^{2}}\to +\infty.
    • Se x\to\sqrt{3}^{+} (pela direita), então x^{2}>3 e 3-x^{2}<0 pequeno em módulo, logo \dfrac{x^{2}+2}{3-x^{2}}\to -\infty.
  • O termo h(x)=x\mathrm{e}^{x} tende a um número finito quando x\to\pm\sqrt{3}, pois é contínuo em todo \mathbb{R}. Somar/subtrair um número finito a uma quantidade que diverge para \pm\infty ainda diverge. Portanto:
    • \lim_{x\to\sqrt{3}^{-}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to\sqrt{3}^{+}}f(x)=-\infty (os limites laterais não são finitos e nem iguais).
    • Pelo mesmo raciocínio em x=-\sqrt{3} os limites laterais também divergem (com sinais possivelmente trocados), já que depende apenas do sinal do denominador próximo à raiz.
  • Conclusão: f não é definida em x=\pm\sqrt{3} e os limites laterais não coincidem (divergem), logo f é descontínua em x=\pm\sqrt{3}. Em todo ponto x\in\mathcal{D} (onde 3-x^{2}\neq0) ambas as parcelas são contínuas e suas operações preservam continuidade, logo f é contínua em \mathcal{D}.

Passo 4

Responder e justificar a parte (b) usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Objetivo: decidir se existe \lambda\in(0,1) com f(\lambda)=0.
  • Primeiro verificar continuidade no intervalo fechado [0,1]:
    • Observação: \sqrt{3}\approx 1{,}732>1, logo nem \sqrt{3} nem -\sqrt{3} pertencem a [0,1]. Assim 3-x^{2}\neq0 para todo x\in[0,1].
    • Como g é uma função racional com denominador não nulo em [0,1], g é contínua em [0,1]. E h é contínua em [0,1]. Logo f=g-h é contínua em [0,1].
    • Portanto as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário estão satisfeitas: f é contínua em [0,1].
  • Calcular f nos extremos (usando os valores fornecidos para \mathrm{e}^{0} e \mathrm{e}^{1}):
    • Para x=0:
    f(0)=\frac{0^{2}+2}{3-0^{2}}-0\cdot\mathrm{e}^{0}=\frac{2}{3}-0=\frac{2}{3}>0.
    • Para x=1:
    f(1)=\frac{1^{2}+2}{3-1^{2}}-1\cdot\mathrm{e}^{1}=\frac{3}{2}-\mathrm{e}.
    Usando \mathrm{e}\approx 2{,}71,
    f(1)\approx 1{,}5-2{,}71=-1{,}21<0.
  • Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) precisamente:
    • Enunciado usado: se uma função F é contínua no intervalo fechado [a,b] e y é qualquer número entre F(a) e F(b), então existe c\in[a,b] tal que F\text{(c)}=y.
    • Aqui F=f é contínua em [0,1], e 0 está entre f(0)=\tfrac{2}{3}>0 e f(1)=\tfrac{3}{2}-\mathrm{e}<0 (sinais opostos). Portanto, por TVI, existe \lambda\in(0,1) tal que f(\lambda)=0.
  • Observação adicional (útil para prova): o TVI garante existência, não garante unicidade. Poderia haver mais de uma raiz em (0,1); o problema pedia apenas existência.

Passo 5

Resumo final curto e incentivo (modo amigo): você verificou que as únicas falhas de continuidade vêm das raízes do denominador 3-x^{2} e que o TVI é a ferramenta exata para provar existência de raiz em (0,1): cheque continuidade no intervalo, calcule os valores nos extremos, veja a troca de sinal e aplique o teorema. Mandou bem — essa é a ideia que normalmente cai em prova.

Resposta

(a) f é descontínua em x=\pm\sqrt{3}.
(b) VERDADEIRA

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