Seja
.
(a) Determine onde
é descontínua. Justifique.
(b) A seguinte afirmativa é VERDADEIRA, FALSA ou INCONCLUSIVA?
Existe pelo menos um número
tal que
Justifique sua resposta, citando teoremas e respectivas condições precisamente.
Obs.: lembre-se que
(a) Determine onde
(b) A seguinte afirmativa é VERDADEIRA, FALSA ou INCONCLUSIVA?
Justifique sua resposta, citando teoremas e respectivas condições precisamente.
Obs.: lembre-se que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele nos dá.
- Função dada:
-
Perguntas:
(a) Determinar ondeé descontínua; justificar.
(b) Decidir se a afirmação "Existe pelo menos um númerotal que " é VERDADEIRA, FALSA ou INCONCLUSIVA; justificar citando teoremas e condições. -
Dados auxiliares fornecidos:
e .
Passo 2
Entender a estrutura da função e quando ela pode falhar em ser contínua.
-
Observação das partes:
é diferença de duas funções: -
(uma função racional), -
(produto de polinômio por exponencial).
-
-
Fatos básicos (que vou usar):
- Qualquer polinômio é contínuo em
. - A função
é contínua em . - Produto e soma (ou diferença) de funções contínuas são contínuas no interseção dos domínios.
- Uma função racional
, com polinômios, é contínua em todos os pontos onde ; se e o numerador não zera na mesma raiz, há descontinuidade (tipicamente vertical).
- Qualquer polinômio é contínuo em
-
Aplicando ao caso:
-
é contínua para todo . -
tem denominador . Zeros do denominador resolvem , ou seja . - Calcular o numerador nesses pontos: para
tem-se . Portanto o numerador não anula o denominador nesses pontos: a fração tende a infinito ao aproximar-se de .
-
-
Conclusão parcial (antes de formalizar):
está indefinida em e apresenta comportamentos de tipo assimptótico (diverge), enquanto é finita lá; assim estará indefinida/divergente em .
Passo 3
Mostrar rigorosamente que em
há descontinuidade.
- Domínio natural de
: todos os tais que . Logo o domínio é
-
Analisar o comportamento de
perto de . Como quando e , o quociente diverge. Para ver o sinal: - Se
(aproximação pela esquerda), então e é pequeno, logo . - Se
(pela direita), então e pequeno em módulo, logo .
- Se
-
O termo
tende a um número finito quando , pois é contínuo em todo . Somar/subtrair um número finito a uma quantidade que diverge para ainda diverge. Portanto: -
e (os limites laterais não são finitos e nem iguais). - Pelo mesmo raciocínio em
os limites laterais também divergem (com sinais possivelmente trocados), já que depende apenas do sinal do denominador próximo à raiz.
-
-
Conclusão:
não é definida em e os limites laterais não coincidem (divergem), logo é descontínua em . Em todo ponto (onde ) ambas as parcelas são contínuas e suas operações preservam continuidade, logo é contínua em .
Passo 4
Responder e justificar a parte (b) usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
-
Objetivo: decidir se existe
com . -
Primeiro verificar continuidade no intervalo fechado
: - Observação:
, logo nem nem pertencem a . Assim para todo . - Como
é uma função racional com denominador não nulo em , é contínua em . E é contínua em . Logo é contínua em . - Portanto as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário estão satisfeitas:
é contínua em .
- Observação:
-
Calcular
nos extremos (usando os valores fornecidos para e ): - Para
:
- Para
:
Usando, - Para
-
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) precisamente:
- Enunciado usado: se uma função
é contínua no intervalo fechado e é qualquer número entre e , então existe tal que . - Aqui
é contínua em , e está entre e (sinais opostos). Portanto, por TVI, existe tal que .
- Enunciado usado: se uma função
-
Observação adicional (útil para prova): o TVI garante existência, não garante unicidade. Poderia haver mais de uma raiz em
; o problema pedia apenas existência.
Passo 5
Resumo final curto e incentivo (modo amigo): você verificou que as únicas falhas de continuidade vêm das raízes do denominador
e que o TVI é a ferramenta exata para provar existência de raiz em
: cheque continuidade no intervalo, calcule os valores nos extremos, veja a troca de sinal e aplique o teorema. Mandou bem — essa é a ideia que normalmente cai em prova.
Resposta
(a)
é descontínua em
.
(b) VERDADEIRA