Seja f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2 x+1}
(a) Determine \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)
(b) Determine todos os pontos de descontinuidade de f(x). E, para cada ponto de descontinuidade, determine se a descontinuidade é removível, ou se a descontinuidade é infinita, ou se a descontinuidade é finita (com um salto finito).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2x+1}
e pede duas coisas:
  • (a) calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x);
  • (b) identificar todos os pontos de descontinuidade de f e, para cada um, dizer se a descontinuidade é removível, infinita ou de salto finito.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) é \dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-2x+1}.
  • O denominador é x^{2}-2x+1, que pode anular-se para algum x (precisamos verificar onde).
  • A função não está explicitamente definida em pontos onde o denominador é zero (esses pontos são candidatos a descontinuidades).

Passo 2

Vamos manipular a expressão algébrica para entender o comportamento de f e o domínio.
Primeiro fatorar numerador e denominador. Para o numerador x^{2}+x-2 procuramos raízes da quadrática x^{2}+x-2=0. Observa-se que x=1 e x=-2 são raízes, porque:
1^{2}+1-2=0,\qquad (-2)^{2}+(-2)-2=4-2-2=0.
Logo o numerador fatora como
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Para o denominador x^{2}-2x+1 reconhece-se uma quadrado perfeito:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Substituindo na expressão de f obtemos, para x\neq1 (pois em x=1 o denominador é zero),
f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)^{2}}=\frac{x+2}{x-1},\quad \text{para }x\neq1.
Comentário didático: cancelar um fator (x-1) entre numerador e denominador só é válido para x\neq1. A função original permanece indefinida em x=1 porque o denominador original vale zero aí. A forma simplificada \dfrac{x+2}{x-1} revela o comportamento para x próximos de 1 (à esquerda e à direita), mas não redefine o valor em x=1.
Do domínio: o denominador original (x-1)^{2} zera somente em x=1. Portanto o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{1\}. Assim o único ponto potencial de descontinuidade em \mathbb{R} é x=1.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x). Para x próximo de 1 e x\neq1, podemos usar a forma simplificada
f(x)=\frac{x+2}{x-1}.
Ao aproximar x de 1 pela esquerda temos:
  • o numerador x+2 tende para 1+2=3, ou seja \lim_{x\to1} (x+2)=3;
  • o denominador x-1 tende para 0, mas, vindo pela esquerda, x-1 é um número pequeno e negativo (escrevemos 0^{-}).
Portanto heurística:
\lim_{x\to 1^{-}} \frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{0^{-}}=-\infty.
Explicação intuitiva: pegue valores concretos (por exemplo x=0{,}9 \dfrac{2{,}9}{-0{,}1}=-29; se x=0{,}99 \dfrac{2{,}99}{-0{,}01}=-299); os valores vão ficando muito grandes em módulo e negativos conforme x se aproxima de 1 pela esquerda, então a tendência é -\infty.
Assim
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty.}

Passo 4

Classificar as descontinuidades. Já vimos que o único ponto onde o denominador original zera é x=1, então é o único ponto onde f pode ser descontínua.
Precisamos ver que tipo de descontinuidade ocorre em x=1. Para isso é útil comparar os limites laterais:
Já calculámos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty.
Agora calcule o limite pela direita usando a forma simplificada \dfrac{x+2}{x-1}. Quando x\to 1^{+}:
  • o numerador tende para 3 (positivo),
  • o denominador x-1 tende para 0^{+} (pequeno e positivo),
    logo
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\frac{3}{0^{+}}=+\infty.
Como pelo menos uma das vizinhanças gera infinitos (na verdade os dois lados tendem a infinito, com sinais opostos), não existe limite finito em x=1. Portanto a descontinuidade em x=1 não é removível (removível exigiria que o limite finito existisse) e também não é um salto finito (um salto finito ocorre quando os limites laterais existem e são finitos mas diferentes). Aqui os limites laterais são infinitos (não finitos), logo a descontinuidade é do tipo infinito — tipicamente chamada de assíntota vertical em x=1.
Conclusão: o único ponto de descontinuidade é x=1, e a descontinuidade em x=1 é infinita (assíntota vertical). Fora x=1 a função é igual à função racional \dfrac{x+2}{x-1}, que é contínua em todo ponto x\neq1.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=-\infty
(b) Ponto de descontinuidade: x=1. Tipo: descontinuidade infinita (assíntota vertical).

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