Seja
(a) Determine
(b) Determine todos os pontos de descontinuidade de
. E, para cada ponto de descontinuidade, determine se a descontinuidade é removível, ou se a descontinuidade é infinita, ou se a descontinuidade é finita (com um salto finito).
(a) Determine
(b) Determine todos os pontos de descontinuidade de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- (a) calcular
; - (b) identificar todos os pontos de descontinuidade de
e, para cada um, dizer se a descontinuidade é removível, infinita ou de salto finito.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - O denominador é
, que pode anular-se para algum (precisamos verificar onde). - A função não está explicitamente definida em pontos onde o denominador é zero (esses pontos são candidatos a descontinuidades).
Passo 2
Vamos manipular a expressão algébrica para entender o comportamento de
e o domínio.
Primeiro fatorar numerador e denominador. Para o numerador
procuramos raízes da quadrática
. Observa-se que
e
são raízes, porque:
Logo o numerador fatora como
Para o denominador
reconhece-se uma quadrado perfeito:
Substituindo na expressão de
obtemos, para
(pois em
o denominador é zero),
Comentário didático: cancelar um fator
entre numerador e denominador só é válido para
. A função original permanece indefinida em
porque o denominador original vale zero aí. A forma simplificada
revela o comportamento para
próximos de
(à esquerda e à direita), mas não redefine o valor em
.
Do domínio: o denominador original
zera somente em
. Portanto o domínio de
é
. Assim o único ponto potencial de descontinuidade em
é
.
Passo 3
Calcular
. Para
próximo de
e
, podemos usar a forma simplificada
Ao aproximar
de
pela esquerda temos:
- o numerador
tende para , ou seja ; - o denominador
tende para , mas, vindo pela esquerda, é um número pequeno e negativo (escrevemos ).
Portanto heurística:
Explicação intuitiva: pegue valores concretos (por exemplo
dá
; se
dá
); os valores vão ficando muito grandes em módulo e negativos conforme
se aproxima de
pela esquerda, então a tendência é
.
Assim
Passo 4
Classificar as descontinuidades. Já vimos que o único ponto onde o denominador original zera é
, então é o único ponto onde
pode ser descontínua.
Precisamos ver que tipo de descontinuidade ocorre em
. Para isso é útil comparar os limites laterais:
Já calculámos o limite pela esquerda:
Agora calcule o limite pela direita usando a forma simplificada
. Quando
:
- o numerador tende para
(positivo), - o denominador
tende para (pequeno e positivo),
logo
Como pelo menos uma das vizinhanças gera infinitos (na verdade os dois lados tendem a infinito, com sinais opostos), não existe limite finito em
. Portanto a descontinuidade em
não é removível (removível exigiria que o limite finito existisse) e também não é um salto finito (um salto finito ocorre quando os limites laterais existem e são finitos mas diferentes). Aqui os limites laterais são infinitos (não finitos), logo a descontinuidade é do tipo infinito — tipicamente chamada de assíntota vertical em
.
Conclusão: o único ponto de descontinuidade é
, e a descontinuidade em
é infinita (assíntota vertical). Fora
a função é igual à função racional
, que é contínua em todo ponto
.
Resposta
(a)
(b) Ponto de descontinuidade:
. Tipo: descontinuidade infinita (assíntota vertical).