O segundo axioma de Peano relacionado a construção dos números naturais nos diz que
"Existe um único número natural (denotado por 1) que não é sucessor de nenhum outro elemento de \mathbb{N} "
Demonstre que a unicidade do elemento 1 é na verdade uma consequência. Em outras palavras, sendo s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} a função sucessora, demonstre que \operatorname{Im}(s)=\mathbb{N} \backslash\{1\}. (Dica: utilize o 3^{\mathrm{o}} axioma de Peano - PIF)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar explicitamente o que temos e o que precisamos mostrar):
  • Há uma função sucessora s:\mathbb{N}\to\mathbb{N}.
  • Sabe-se que existe ao menos um elemento de \mathbb{N} que não é sucessor de nenhum outro; chame esse elemento de 1. Ou seja, foi dado que 1\in\mathbb{N} e 1\notin\operatorname{Im}(s).
  • Temos disponível o terceiro axioma de Peano (Princípio da Indução/Fato Indutivo — PIF).
O que o enunciado pede:
  • Demonstrar que a unicidade do elemento 1 (isto é, que não existe outro elemento que também não seja sucessor de ninguém) é consequência dos axiomas citados. Formalmente, provar que
\operatorname{Im}(s)=\mathbb{N}\setminus\{1\}.

Passo 2

Vou recordar e explicar bem o Princípio da Indução (PIF), porque ele é a ferramenta chave aqui.
Definição (indutivo): um subconjunto S\subseteq\mathbb{N} chama-se indutivo se satisfaz:
  1. 1\in S.
  2. Para todo n\in\mathbb{N}, se n\in S então s(n)\in S.
Princípio da Indução (PIF): se S\subseteq\mathbb{N} é indutivo então S=\mathbb{N}.
Explicação em palavras (bem didática): para provar que uma propriedade vale para todos os naturais, basta mostrar que ela vale para 1 e que, sempre que vale para um n, também vale para o sucessor s(n). Aqui vamos aplicar esse raciocínio não a uma propriedade numérica, mas a um conjunto construído a partir da propriedade “é igual a 1 ou é sucessor de alguém”.

Passo 3

Construa o conjunto
C=\{\,n\in\mathbb{N}\mid n=1\\ \text{ou}\\ n\in\operatorname{Im}(s)\,\}.
Interpretação: C é o conjunto dos naturais que são ou o elemento 1 escolhido, ou são sucessores de algum natural.
Agora verifico que C é indutivo, para poder aplicar o PIF.
Primeiro, 1\in C por construção (a condição n=1 coloca 1 em C).
Segundo, mostro que C é fechado por sucessor: tomo um elemento arbitrário k\in C e mostro que s(k)\in C. Há dois casos:
  • Caso k=1. Então s(k)=s(1). Mas s(1) é, por definição, um sucessor (é o sucessor de 1); portanto s(1)\in\operatorname{Im}(s), e assim s(k)\in C.
  • Caso k\in\operatorname{Im}(s). Então existe m\in\mathbb{N} com k=s(m). Aí s(k)=s(s(m)) é também um sucessor (o sucessor de s(m)), logo s(k)\in\operatorname{Im}(s)\subset C.
Portanto, em ambos os casos s(k)\in C. Assim C satisfaz as duas condições do PIF: contém 1 e é fechado por sucessor. Logo C é indutivo.

Passo 4

Pelo Princípio da Indução (PIF), do fato de C ser indutivo segue que C=\mathbb{N}. Em palavras: todo n\in\mathbb{N} é ou igual a 1 ou pertence a \operatorname{Im}(s).
Esse é um passo central: mostramos que não há nenhum natural que não seja nem 1 nem sucessor de alguém.

Passo 5

A partir do que já foi obtido, concluo as duas inclusões que nos dão a igualdade desejada (vou escrever as inclusões separadas e explicar cada uma):
  1. \operatorname{Im}(s)\subseteq\mathbb{N}\setminus\{1\}.
Justificativa: por hipótese inicial escolhemos 1 com a propriedade 1\notin\operatorname{Im}(s). Logo nenhum elemento de \operatorname{Im}(s) é igual a 1; isto é precisamente \operatorname{Im}(s)\subseteq\mathbb{N}\setminus\{1\}.
  1. \mathbb{N}\setminus\{1\}\subseteq\operatorname{Im}(s).
Justificativa: pela igualdade C=\mathbb{N} obtida no passo anterior, todo natural é ou 1 ou pertence a \operatorname{Im}(s). Portanto, se um natural não é 1, então necessariamente pertence a \operatorname{Im}(s). Isso dá a inclusão \mathbb{N}\setminus\{1\}\subseteq\operatorname{Im}(s).
Essas duas inclusões combinadas implicam que \operatorname{Im}(s) e \mathbb{N}\setminus\{1\} são o mesmo conjunto, isto é, que a imagem de s é exatamente todos os naturais exceto 1.

Resposta

\operatorname{Im}(s)=\mathbb{N}\setminus\{1\}

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