O segundo axioma de Peano relacionado a construção dos números naturais nos diz que
"Existe um único número natural (denotado por 1) que não é sucessor de nenhum outro elemento de
"
Demonstre que a unicidade do elemento 1 é na verdade uma consequência. Em outras palavras, sendo
a função sucessora, demonstre que
. (Dica: utilize o
axioma de Peano - PIF)
"Existe um único número natural (denotado por 1) que não é sucessor de nenhum outro elemento de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar explicitamente o que temos e o que precisamos mostrar):
- Há uma função sucessora
. - Sabe-se que existe ao menos um elemento de
que não é sucessor de nenhum outro; chame esse elemento de . Ou seja, foi dado que e . - Temos disponível o terceiro axioma de Peano (Princípio da Indução/Fato Indutivo — PIF).
O que o enunciado pede:
- Demonstrar que a unicidade do elemento
(isto é, que não existe outro elemento que também não seja sucessor de ninguém) é consequência dos axiomas citados. Formalmente, provar que
Passo 2
Vou recordar e explicar bem o Princípio da Indução (PIF), porque ele é a ferramenta chave aqui.
Definição (indutivo): um subconjunto
chama-se indutivo se satisfaz:
-
. - Para todo
, se então .
Princípio da Indução (PIF): se
é indutivo então
.
Explicação em palavras (bem didática): para provar que uma propriedade vale para todos os naturais, basta mostrar que ela vale para
e que, sempre que vale para um
, também vale para o sucessor
. Aqui vamos aplicar esse raciocínio não a uma propriedade numérica, mas a um conjunto construído a partir da propriedade “é igual a
ou é sucessor de alguém”.
Passo 3
Construa o conjunto
Interpretação:
é o conjunto dos naturais que são ou o elemento
escolhido, ou são sucessores de algum natural.
Agora verifico que
é indutivo, para poder aplicar o PIF.
Primeiro,
por construção (a condição
coloca
em
).
Segundo, mostro que
é fechado por sucessor: tomo um elemento arbitrário
e mostro que
. Há dois casos:
- Caso
. Então . Mas é, por definição, um sucessor (é o sucessor de ); portanto , e assim . - Caso
. Então existe com . Aí é também um sucessor (o sucessor de ), logo .
Portanto, em ambos os casos
. Assim
satisfaz as duas condições do PIF: contém
e é fechado por sucessor. Logo
é indutivo.
Passo 4
Pelo Princípio da Indução (PIF), do fato de
ser indutivo segue que
. Em palavras: todo
é ou igual a
ou pertence a
.
Esse é um passo central: mostramos que não há nenhum natural que não seja nem
nem sucessor de alguém.
Passo 5
A partir do que já foi obtido, concluo as duas inclusões que nos dão a igualdade desejada (vou escrever as inclusões separadas e explicar cada uma):
-
.
Justificativa: por hipótese inicial escolhemos
com a propriedade
. Logo nenhum elemento de
é igual a
; isto é precisamente
.
-
.
Justificativa: pela igualdade
obtida no passo anterior, todo natural é ou
ou pertence a
. Portanto, se um natural não é
, então necessariamente pertence a
. Isso dá a inclusão
.
Essas duas inclusões combinadas implicam que
e
são o mesmo conjunto, isto é, que a imagem de
é exatamente todos os naturais exceto
.