Considere as seguintes afirmações sobre sequências numéricas:
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe L \in \mathbb{R} tal que \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=L, então ( a_{n} ) é convergente.
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge. Temos que:
(a) Apenas a afirmação III é verdadeira.
(b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(c) Todas as afirmações são verdadeiras.
(d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
(e) Apenas a afirmação I é verdadeira.
(f) Todas as afirmações são falsas.
(g) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
(h) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações sobre sequências e pede que a gente identifique quais são verdadeiras:
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe L \in \mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} |a_n| = L, então a sequência (a_n) é convergente.
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge.
A tarefa é decidir, dentre as alternativas dadas, qual opção descreve corretamente quais afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Antes de provar ou refutar cada item, vamos revisar definições e ideias-chave (de forma bem prática):
  • Uma sequência (a_n) converge para A significa: para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N temos |a_n-A|<\varepsilon. Em símbolos: \lim_{n\to\infty} a_n = A.
  • Uma sequência (a_n) é limitada se existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.
  • Uma subsequência é uma sequência formada escolhendo índices crescentes n_1<n_2<\dots e considerando (a_{n_k}).
  • Observação útil: se \lim a_n = A então \lim |a_n| = |A|. A recíproca não é sempre verdadeira (vai aparecer no item II).
Agora vamos analisar cada afirmação com exemplos e provas.

Passo 3

Analisando a afirmação (I): “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto é falso. Vou dar um contraexemplo simples e muito usado: defina \displaystyle a_n = (-1)^n. Vamos ver as propriedades:
  • Para todo n, |a_n| = 1. Logo (a_n) é limitada (por exemplo, M=1).
  • Entretanto, a sequência não converge, porque ela oscila entre 1 e -1. Mais formalmente, existem duas subsequências: (a_{2k}) = 1 para todo k, que converge para 1, e (a_{2k+1}) = -1 para todo k, que converge para -1. Se a sequência original tivesse limite L, todas as suas subsequências teriam que ter limite L — mas elas têm limites diferentes, logo (a_n) não converge.
    Portanto (I) é falsa.

Passo 4

Complementando (I) com um pouco de teoria prática: ser limitada é uma condição necessária para convergência (se (a_n) converge então é limitada), mas não é suficiente. Em outras palavras:
  • Convergência ⇒ limitado (sempre).
  • Limitado ⇏ convergente (ex.: a_n = (-1)^n).
    Guarde isso: limitado não garante convergência — falta controlar o comportamento oscilatório.

Passo 5

Analisando a afirmação (II): “Se existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} |a_n| = L, então (a_n) é convergente.”
Também é falsa no geral. Uso o mesmo contraexemplo: a_n = (-1)^n.
  • Temos \lim_{n\to\infty} |a_n| = 1, pois |a_n|=1 para todo n.
  • Mas, como mostrado antes, (a_n) não converge. Logo a convergência dos módulos |a_n| para um L não implica a convergência de a_n.
    Explicação didática: a informação |a_n|\to L só fixa a magnitude dos termos no limite; não fixa a “direção” (sinal). Se L>0 os termos podem continuar alternando sinais e não convergir. Há, entretanto, um caso especial importante: se \lim |a_n| = 0 então \lim a_n = 0. Isso ocorre porque |a_n|\to 0 significa que para todo \varepsilon>0 temos |a_n|<\varepsilon para n grandes, o que é exatamente |a_n-0|<\varepsilon.

Passo 6

Analisando a afirmação (III): “Se uma sequência converge, então toda subsequência converge.”
Isto é verdadeiro. Vou provar de modo direto e didático com a definição \varepsilon- N:
Suponha \lim_{n\to\infty} a_n = L. Isso significa: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |a_n-L|<\varepsilon. Seja (a_{n_k}) qualquer subsequência, onde n_1<n_2<\cdots. Como n_k\to\infty quando k\to\infty, existe K tal que para todo k\ge K temos n_k\ge N. Para esses k vale |a_{n_k}-L|<\varepsilon. Isso mostra que, para qualquer \varepsilon>0, existe K tal que para todo k\ge K temos |a_{n_k}-L|<\varepsilon. Logo \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = L. Portanto toda subsequência converge para o mesmo limite L. Assim (III) é verdadeira.

Passo 7

Conclusão combinando os resultados:
  • (I) é falsa (contraexemplo a_n=(-1)^n).
  • (II) é falsa (mesmo contraexemplo; observe que |a_n|\to 1 mas a_n não converge).
  • (III) é verdadeira (prova \varepsilon- N mostrada).
    Portanto apenas a afirmação III é verdadeira.

Resposta

(a) Apenas a afirmação III é verdadeira.

Exercícios relacionados