Considere as seguintes afirmações sobre sequências numéricas:
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe
tal que
, então (
) é convergente.
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge. Temos que:
(a) Apenas a afirmação III é verdadeira.
(b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(c) Todas as afirmações são verdadeiras.
(d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
(e) Apenas a afirmação I é verdadeira.
(f) Todas as afirmações são falsas.
(g) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
(h) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge. Temos que:
(a) Apenas a afirmação III é verdadeira.
(b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(c) Todas as afirmações são verdadeiras.
(d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
(e) Apenas a afirmação I é verdadeira.
(f) Todas as afirmações são falsas.
(g) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
(h) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmações sobre sequências e pede que a gente identifique quais são verdadeiras:
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe tal que
, então a sequência
é convergente.
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge.
A tarefa é decidir, dentre as alternativas dadas, qual opção descreve corretamente quais afirmações são verdadeiras.
(I) Toda sequência limitada é convergente.
(II) Se existe
(III) Se uma sequência converge, então toda subsequência converge.
A tarefa é decidir, dentre as alternativas dadas, qual opção descreve corretamente quais afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Antes de provar ou refutar cada item, vamos revisar definições e ideias-chave (de forma bem prática):
- Uma sequência
converge para significa: para todo existe tal que para todo temos . Em símbolos: . - Uma sequência
é limitada se existe tal que para todo . - Uma subsequência é uma sequência formada escolhendo índices crescentes
e considerando . - Observação útil: se
então . A recíproca não é sempre verdadeira (vai aparecer no item II).
Agora vamos analisar cada afirmação com exemplos e provas.
Passo 3
Analisando a afirmação (I): “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto é falso. Vou dar um contraexemplo simples e muito usado: defina . Vamos ver as propriedades:
Isto é falso. Vou dar um contraexemplo simples e muito usado: defina
- Para todo
, . Logo é limitada (por exemplo, ). - Entretanto, a sequência não converge, porque ela oscila entre
e . Mais formalmente, existem duas subsequências: para todo , que converge para , e para todo , que converge para . Se a sequência original tivesse limite , todas as suas subsequências teriam que ter limite — mas elas têm limites diferentes, logo não converge.
Portanto (I) é falsa.
Passo 4
Complementando (I) com um pouco de teoria prática: ser limitada é uma condição necessária para convergência (se
converge então é limitada), mas não é suficiente. Em outras palavras:
- Convergência ⇒ limitado (sempre).
- Limitado ⇏ convergente (ex.:
).
Guarde isso: limitado não garante convergência — falta controlar o comportamento oscilatório.
Passo 5
Analisando a afirmação (II): “Se existe
tal que
, então
é convergente.”
Também é falsa no geral. Uso o mesmo contraexemplo: .
Também é falsa no geral. Uso o mesmo contraexemplo:
- Temos
, pois para todo . - Mas, como mostrado antes,
não converge. Logo a convergência dos módulos para um não implica a convergência de .
Explicação didática: a informaçãosó fixa a magnitude dos termos no limite; não fixa a “direção” (sinal). Se os termos podem continuar alternando sinais e não convergir. Há, entretanto, um caso especial importante: se então . Isso ocorre porque significa que para todo temos para grandes, o que é exatamente .
Passo 6
Analisando a afirmação (III): “Se uma sequência converge, então toda subsequência converge.”
Isto é verdadeiro. Vou provar de modo direto e didático com a definição -
:
Suponha . Isso significa: para todo
existe
tal que, para todo
,
. Seja
qualquer subsequência, onde
. Como
quando
, existe
tal que para todo
temos
. Para esses
vale
. Isso mostra que, para qualquer
, existe
tal que para todo
temos
. Logo
. Portanto toda subsequência converge para o mesmo limite
. Assim (III) é verdadeira.
Isto é verdadeiro. Vou provar de modo direto e didático com a definição
Suponha
Passo 7
Conclusão combinando os resultados:
- (I) é falsa (contraexemplo
). - (II) é falsa (mesmo contraexemplo; observe que
mas não converge). - (III) é verdadeira (prova
- mostrada).
Portanto apenas a afirmação III é verdadeira.
Resposta
(a) Apenas a afirmação III é verdadeira.