Suponha que a_{n}>0 e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} convirja. Mostre se as séries abaixo convergem ou divergem.
Sabendo-se que para n \geq 0 tem-se a_{n+1}=\frac{2 n+1}{3 n+5} a_{n} e que a_{0}=1, o que dizer sobre a convergência de \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • Para todo n\ge 0 vale a recorrência
a_{n+1}=\frac{2n+1}{3n+5}\,a_{n},
e a_{0}=1.
  • Além disso, é informado que a_{n}>0 (isto segue também da recorrência, pois o fator é positivo).
    A pergunta específica é: o que dizer sobre a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n} ?

Passo 2

Primeiro observação simples e útil: todos os termos a_{n} são positivos. Justificativa curta por indução:
  • a_{0}=1>0.
  • Se a_{n}>0 então, como \dfrac{2n+1}{3n+5}>0 para todo n\ge0, tem-se a_{n+1}=\dfrac{2n+1}{3n+5}a_{n}>0.
    Logo a_{n}>0 para todo n.
Também podemos escrever a_{n} como produto para ter uma ideia da forma:
a_{n}=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2k+1}{3k+5}\quad\text{(para \(n\ge1\)).}

Passo 3

Vamos verificar se a série de termos positivos \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} converge. Para isso usamos o teste da razão (ratio test), que funciona assim:
Explicando o teste da razão (didaticamente): seja uma série com termos positivos \sum u_n. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n},
então
  • se L<1 a série converge (comportamento geométrico),
  • se L>1 a série diverge,
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos u_n=a_n. Calculamos a razão entre termos consecutivos, que já é dada pela recorrência:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1}{3n+5}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Para isso dividimos numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+5}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\tfrac{1}{n}}{3+\tfrac{5}{n}}=\frac{2}{3}.
Portanto o limite da razão é L=\dfrac{2}{3}.
Como L=\dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série de termos positivos
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}
converge. (Intuição: para grandes n os termos se comportam aproximadamente como uma progressão geométrica com razão próxima de 2/3.)

Passo 4

Agora relacionamos isso com a série alternada pedida. Lembre as definições e um teorema útil:
  • Diz-se que uma série \sum u_n é absolutamente convergente se \sum |u_n| converge.
  • Teorema (fato padrão): toda série absolutamente convergente converge (ou seja, absoluta convergência implica convergência usual).
No nosso caso tomamos u_n = (-1)^n a_n. Então |u_n|=a_n. Já mostramos no Passo 3 que \sum_{n=0}^{\infty}a_n converge. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}|(-1)^n a_n|=\sum_{n=0}^{\infty}a_n<\infty,
logo a série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n converge absolutamente.

Passo 5

Conclusão e interpretação final (didática e amigável): como a série dos módulos converge, a alternância de sinais não cria nenhum problema — pelo contrário, a série alternada converge de maneira ainda mais forte (absoluta). Em provas, sempre que conseguir mostrar que \sum |u_n| converge, já está garantida a convergência de \sum u_n. Aqui o teste da razão foi a ferramenta natural porque a recorrência fornece diretamente \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e o limite dessa razão é menor que 1.

Resposta

A série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n} converge absolutamente (e, portanto, converge), pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2}{3}<1, o que implica que \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} converge.

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