Suponha que
e
convirja. Mostre se as séries abaixo convergem ou divergem.
Sabendo-se que para
tem-se
e que
, o que dizer sobre a convergência de
? Justifique.
Sabendo-se que para
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
- Para todo
vale a recorrência
e
.
- Além disso, é informado que
(isto segue também da recorrência, pois o fator é positivo).
A pergunta específica é: o que dizer sobre a convergência da série
Passo 2
Primeiro observação simples e útil: todos os termos
são positivos. Justificativa curta por indução:
-
. - Se
então, como para todo , tem-se .
Logopara todo .
Também podemos escrever
como produto para ter uma ideia da forma:
Passo 3
Vamos verificar se a série de termos positivos
converge. Para isso usamos o teste da razão (ratio test), que funciona assim:
Explicando o teste da razão (didaticamente): seja uma série com termos positivos
. Se existir o limite
então
- se
a série converge (comportamento geométrico), - se
a série diverge, - se
o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos
. Calculamos a razão entre termos consecutivos, que já é dada pela recorrência:
Agora calculamos o limite quando
. Para isso dividimos numerador e denominador por
:
Portanto o limite da razão é
.
Como
, pelo teste da razão a série de termos positivos
converge. (Intuição: para grandes
os termos se comportam aproximadamente como uma progressão geométrica com razão próxima de
.)
Passo 4
Agora relacionamos isso com a série alternada pedida. Lembre as definições e um teorema útil:
- Diz-se que uma série
é absolutamente convergente se converge. - Teorema (fato padrão): toda série absolutamente convergente converge (ou seja, absoluta convergência implica convergência usual).
No nosso caso tomamos
. Então
. Já mostramos no Passo 3 que
converge. Assim
logo a série
converge absolutamente.
Passo 5
Conclusão e interpretação final (didática e amigável): como a série dos módulos converge, a alternância de sinais não cria nenhum problema — pelo contrário, a série alternada converge de maneira ainda mais forte (absoluta). Em provas, sempre que conseguir mostrar que
converge, já está garantida a convergência de
. Aqui o teste da razão foi a ferramenta natural porque a recorrência fornece diretamente
e o limite dessa razão é menor que
.
Resposta
A série
converge absolutamente (e, portanto, converge), pois
, o que implica que
converge.