Segundo o fabricante OSRAM, uma lâmpada ligada em média 5 horas/dia tem vida útil de 1000 horas. Sabendo que a duração (em anos) das lâmpadas da marca “Que-Luz” tem distribuição exponencial com fdp f(t)=\frac{3}{2} \mathrm{e}^{-3 t / 2}, t \geq 0, determine:
a) A probabilidade de que uma lâmpada dure menos de 6 meses.
b) A probabilidade de que, após 2100 horas ligada, uma lâmpada ainda esteja funcionando.
c) O tempo médio de vida de uma lâmpada “Que-Luz”.
d) A variância do tempo de vida das lâmpadas “Que-Luz”.
e) Qual o número esperado de lâmpadas boas após 337 dias de uso num lote de 5000 unidades?
f) Dê o valor de t^{*} (em meses) tal que P\left(T \leq t^{*}\right)=0,50.

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil T (em anos) das lâmpadas “Que-Luz” segue distribuição exponencial com densidade
f(t) = \frac{3}{2} e^{-3t/2},\quad t\ge0.
Isto é, o parâmetro é \lambda = 3/2 (an o^{-}¹). Vamos usar as fórmulas conhecidas da distribuição exponencial para CDF, função de sobrevivência, média e variância.

Passo 2

Para T\sim\mathrm{Exp}(\lambda) vale:
F(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}, \qquad S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t},
E[T]=\frac1\lambda, \qquad \mathrm{Var}(T)=\frac1{\lambda^2}.

Passo 3

(a) Queremos P(T<6\text{ meses}). Em anos, 6\text{ meses}=0,5 ano. Logo
P(T<0,5)=F(0,5)=1-e^{-(3/2)\cdot0,5} =1-e^{-0,75}.

Passo 4

(b) Queremos P\bigl(T>2100\text{ h}\bigr). Como 1 ano \approx 8760 h, temos t=2100/8760\approx0,2397 ano. Assim
P(T>0,2397)=S(0,2397)=e^{-(3/2)\cdot0,2397} =e^{-0,3596}.

Passo 5

(c) A média de T é
E[T]=\frac1\lambda=\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}\text{ ano}.

Passo 6

(d) A variância de T é
\mathrm{Var}(T)=\frac1{\lambda^2}=\frac1{(3/2)^2}=\frac{4}{9}\text{ (ano)}^2.

Passo 7

(e) Num lote de 5000 lâmpadas, após 337 dias de uso (em anos t=337/365\approx0,9233), a probabilidade de sobreviver é
S(0,9233)=e^{-(3/2)\cdot0,9233}=e^{-1,3849}.
O número esperado de lâmpadas boas é
5000\cdot e^{-1,3849}.

Passo 8

(f) Procuramos t^* (em meses) tal que P(T\le t^*)=0,5. Em anos, a mediana da exponencial é
t^*_{\text{anos}}=\frac{\ln2}{\lambda}=\frac{\ln2}{3/2}=\frac{2\ln2}{3}\approx0,4621\text{ ano}.
Convertendo para meses:
t^*_{\text{meses}}=0,4621\times12\approx5,545\text{ meses}.

Resposta

(a) 1-e^{-0,75}.
(b) e^{-0,3596}.
(c) E[T]=2/3 ano.
(d) \mathrm{Var}(T)=4/9 an o^{2}.
(e) 5000\,e^{-1,3849}.
(f) t^*\approx5,545 meses.

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