Um processo de engarrafamento automático de refrigerante está regulado para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 ml e variância de 36,25 \mathrm{ml}^{2}. Considerando que o volume tenha distribuição normal:
a) Qual a proporção de garrafas para as quais o volume de refrigerante seja inferior a 990 ml .
b) De quanto deverá ser diminuída a variabilidade do processo para que a proporção de garrafas com volume de refrigerante abaixo de 990 ml seja de no máximo 0,01 .
c) Se a regulagem da média do processo for alterada para 1004 ml , de quanto seria a proporção calculada no item (a)?
d) Os dois procedimentos propostos em (b) e (c) visam reduzir a proporção de garrafas com volume inferior a 990 ml . Qual dos dois é mais apropriado? Justifique.

Passo 1

O processo entrega volumes X que seguem uma distribuição normal com média \mu=1000 ml e variância \sigma^2=36{,}25 ml ^2. Assim, o desvio‐padrão é
\sigma = \sqrt{36{,}25} = 6{,}0208\text{ ml}.
Para qualquer cálculo de probabilidade do tipo P(X<\text{valor}), usaremos a padronização
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
e tabelas ou funções da normal padrão \Phi(z).

Passo 2

(a) Queremos
P(X < 990)=P\Bigl(Z < \frac{990-1000}{6{,}0208}\Bigr) =P\bigl(Z < -1{,}660\bigr).
Consultando a tabela da normal padrão, \Phi(-1{,}660)\approx 0{,}0485.
Portanto, cerca de 4,85 % das garrafas terão menos de 990 ml.

Passo 3

(b) Desejamos que
P(X<990)\le 0{,}01,
ou seja
\Phi\!\Bigl(\frac{990-1000}{\sigma}\Bigr)\le 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad \frac{990-1000}{\sigma}\le z_{0{,}01},
onde z_{0,01}\approx -2{,}3263. Logo,
\frac{-10}{\sigma}\le -2{,}3263 \quad\Longrightarrow\quad \sigma \le \frac{10}{2{,}3263}\approx 4{,}299\text{ ml}.
Em termos de variância, precisamos de
\sigma^2 \le (4{,}299)^2 \approx 18{,}49\text{ ml}^2.

Passo 4

(c) Mantendo \sigma=6{,}0208 ml e mudando a média para \mu=1004 ml, temos
P(X<990) =P\Bigl(Z<\frac{990-1004}{6{,}0208}\Bigr) =P\bigl(Z<-2{,}3255\bigr) \approx 0{,}0101.
Ou seja, cerca de 1,01 % das garrafas.

Passo 5

(d) Para ter P(X<990)\le0{,}01, o ajuste de média em +4 ml (de 1000 ml para 1004 ml) já coloca a probabilidade muito próxima de 0,01 com a variabilidade atual, enquanto reduzir o desvio‐padrão de 6,02 ml para 4,30 ml exige um controle de processo muito mais rigoroso. Portanto, alterar a média para 1004 ml é, em geral, a opção mais prática e apropriada para atingir a meta de 1 %.

Resposta

(a) P(X<990)\approx0{,}0485.
(b) \sigma deve ficar em no máximo 4{,}299 ml (ou \sigma^2\le18{,}49 ml ^2).
(c) P(X<990)\approx0{,}0101.
(d) É mais apropriado ajustar a média para 1004 ml, pois exige menor aperfeiçoamento do processo.

Exercícios relacionados