Se X é uma v.a. com distribuição Normal com média \mu=200 e \sigma=5, achar b tal que:
a) \quad P(X \leq b)=0,67;
b) \quad P(X \geq b)=0,0110;
c) \quad P(|X-200|<b)=0,966.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição Normal de média \mu=200 e desvio padrão \sigma=5. Precisamos achar valores de b usando:
  1. Padronização: se Z=(X-\mu)/\sigma então Z\sim N(0,1).
  2. Quantil da Normal padrão: \Phi^{-1}(p) é o valor z_p tal que \Phi(z_p)=p.

Passo 2

(a) Queremos P(X\le b)=0,67. Padronizando:
P\bigl(Z\le \tfrac{b-\mu}{\sigma}\bigr)=0,67.
Logo
\tfrac{b-200}{5} = \Phi^{-1}(0{,}67)\approx 0{,}44.
Daí
b = 200 + 5 \times 0{,}44 = 200 + 2{,}20 = 202{,}20.

Passo 3

(b) Queremos P(X\ge b)=0,0110, isto é P(X\le b)=1-0,0110=0,989. Padronizando:
\Phi\bigl(\tfrac{b-200}{5}\bigr)=0,989 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{b-200}{5} = \Phi^{-1}(0{,}989)\approx 2{,}326.
Logo
b = 200 + 5 \times 2{,}326 = 200 + 11{,}63 = 211{,}63.

Passo 4

(c) Queremos P\bigl(\lvert X-200\rvert < b\bigr)=0,966. Isso equivale a
P(200 - b < X < 200 + b) =2\,\Phi\bigl(\tfrac{b}{5}\bigr)-1 = 0,966.
Então
\Phi\bigl(\tfrac{b}{5}\bigr) = \tfrac{1 + 0,966}{2} = 0,983 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{b}{5} = \Phi^{-1}(0{,}983)\approx 2{,}13.
Logo
b = 5 \times 2{,}13 = 10{,}65.

Resposta

(a) b \approx 202{,}20
(b) b \approx 211{,}63
(c) b \approx 10{,}65

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