Segundo o IBGE (1988), a distribuição dos suicídios ocorridos no Brasil em 1986, segundo a causa atribuída, foi a seguinte: 263 por alcoolismo, 198 por dificuldade financeira, 700 por doença mental, 189 por outro tipo de doença, 416 por desilusão amorosa e 217 por outras causas. Deseja-se estimar a proporção de suicidas que tiveram contato prolongado com animais de estimação. Determine o tamanho da amostra (geral para todos os casos), com confiança de
e margem de erro de
. Considerando o tamanho da amostra encontrado, quantos elementos devem ser selecionados em cada grupo se optássemos por seguir com uma amostragem estratificada? (
e
)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dados sobre suicídios no Brasil em 1986, distribuídos por diferentes causas. A tarefa aqui é estimar a proporção de pessoas que cometeram suicídio e que tiveram contato prolongado com animais de estimação. Para isso, queremos determinar o tamanho da amostra necessário para uma confiança de 95% e uma margem de erro de 4%. Além disso, depois de encontrar esse tamanho de amostra, precisamos decidir quantos indivíduos selecionar em cada grupo se optarmos por uma amostragem estratificada.
Vamos precisar entender conceitos básicos de estatística, como tamanho da amostra, nível de confiança, margem de erro e amostragem estratificada. Também vamos usar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estimar a proporção com uma certa confiança e margem de erro. Quando queremos estimar uma proporção (como a proporção de suicidas que tiveram contato com animais de estimação), usamos uma amostra da população para fazer essa estimativa. O nível de confiança indica a probabilidade de que o intervalo de confiança contenha a verdadeira proporção da população. Já a margem de erro indica o quão precisa queremos que essa estimativa seja.
A fórmula para calcular o tamanho da amostra $ n $ para uma proporção é:
Onde:
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada da característica de interesse (nesse caso, a proporção de suicidas com contato com animais de estimação).
- $ E $ é a margem de erro.
Como não temos uma estimativa prévia de $ p $, usamos $ p = 0.5 $ para garantir a maior variância e, assim, o maior tamanho de amostra necessário.
Passo 3
Vamos agora identificar os valores que temos:
- Nível de confiança: 95%. O valor $ Z $ correspondente a 95% de confiança é aproximadamente 1.96.
- Margem de erro ($ E $): 4% ou 0.04.
- Proporção estimada ($ p $): Como não sabemos, usamos 0.5.
Substituindo esses valores na fórmula:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ 1.96^2 $:
Em seguida, calculamos $ 0.5 \cdot (1 - 0.5) $:
Agora, multiplicamos esses dois resultados:
Por último, dividimos por $ 0.04^2 $:
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
Passo 5
Agora que sabemos que precisamos de uma amostra de 601 pessoas para estimar a proporção com 95% de confiança e 4% de margem de erro, vamos ver como distribuir essa amostra nos diferentes grupos usando uma amostragem estratificada.
A amostragem estratificada envolve dividir a população em subgrupos (ou estratos) que compartilham características semelhantes e, em seguida, amostrar de cada estrato proporcionalmente ao seu tamanho na população. Isso ajuda a garantir que cada estrato seja representado adequadamente na amostra.
Os grupos que temos são:
- Alcoolismo: 263 casos
- Dificuldade financeira: 198 casos
- Doença mental: 700 casos
- Outro tipo de doença: 189 casos
- Desilusão amorosa: 416 casos
- Outras causas: 217 casos
Vamos primeiro somar o total de casos para encontrar a proporção de cada estrato.
Passo 6
Calculando o total de casos:
Agora, vamos calcular a proporção de cada estrato na população:
- Alcoolismo:
- Dificuldade financeira:
- Doença mental:
- Outro tipo de doença:
- Desilusão amorosa:
- Outras causas:
Passo 7
Agora, vamos determinar quantas pessoas devem ser selecionadas de cada estrato com base na amostra total de 601.
Usamos a fórmula:
Onde:
- $ n_i $ é o tamanho da amostra para o estrato $ i $.
- $ n $ é o tamanho total da amostra (601).
- $ N_i $ é o tamanho do estrato $ i $ na população.
- $ N $ é o tamanho total da população (1983).
Vamos calcular para cada estrato:
- Alcoolismo:
- Dificuldade financeira:
- Doença mental:
- Outro tipo de doença:
- Desilusão amorosa:
- Outras causas:
Passo 8
Vamos verificar se a soma das amostras por estrato corresponde ao total desejado:
Perfeito! A distribuição está correta.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 601 pessoas. Distribuindo de forma estratificada, devemos selecionar:
- 80 indivíduos do grupo de alcoolismo,
- 60 do grupo de dificuldade financeira,
- 212 do grupo de doença mental,
- 57 do grupo de outro tipo de doença,
- 126 do grupo de desilusão amorosa,
- 66 do grupo de outras causas.