Quantas residências com TV um instituto de pesquisa deve pesquisar, para estimar a percentagem das que estão sintonizadas no programa A? Adote a margem de
de confiança em que sua percentagem amostral tenha uma margem de erro de dois pontos percentuais. Admita também que nada se sabe sobre a porcentagem de residências sintonizadas para qualquer programa de TV.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quantas residências com TV um instituto de pesquisa deve pesquisar para estimar a porcentagem de casas que estão assistindo ao programa A. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à estimativa de proporções. O que vamos precisar saber é a margem de confiança (nesse caso, 97%) e a margem de erro que queremos ter (dois pontos percentuais). Além disso, como nada sabemos sobre a porcentagem de casas assistindo ao programa, vamos assumir a situação mais “complicada” para garantir que nossa amostra seja suficiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que queremos calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com uma determinada margem de erro e nível de confiança. A fórmula que vamos usar é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada da população (como não sabemos, usamos 0,5 para maximizar o tamanho da amostra).
- $ E $ é a margem de erro desejada.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 97%. O nível de confiança nos diz o quanto podemos confiar que o intervalo calculado contém o verdadeiro parâmetro da população. Para 97%, encontramos o valor de $ Z $ que corresponde a essa confiança.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora:
Passo 4
Como nada sabemos sobre a proporção de residências assistindo ao programa, assumimos $ p = 0,5 $. Essa é a escolha padrão quando queremos ter a maior amostra possível, garantindo assim que nossa estimativa seja segura.
A margem de erro $ E $ é de 2 pontos percentuais, ou seja, 0,02.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
- $ (2,17)^2 = 4,7089 $
- $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,25 $
- $ (0,02)^2 = 0,0004 $
Agora, multiplicamos e dividimos:
Resposta
Portanto, o instituto de pesquisa deve pesquisar aproximadamente 2.944 residências para estimar a porcentagem de casas sintonizadas no programa A com 97% de confiança e uma margem de erro de dois pontos percentuais.