Os tempos gastos ( min ) para fabricar um componente industrial são:
,
. Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar o tempo médio gasto nesta fabricação, com precisão de 30 s e
de certeza?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de tempos, em minutos, que representam quanto tempo leva para fabricar um componente industrial. Queremos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio de fabricação com uma precisão de 30 segundos (que é 0,5 minutos) e com 95% de confiança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o tamanho da amostra para estimativa de média.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) dos tempos fornecidos. Isso nos ajudará a entender a variabilidade dos dados.
Temos os seguintes tempos (em minutos):
13, 15, 12, 14, 17, 15, 16, 15, 14, 16, 17, 14, 16, 15, 15, 13, 14, 15, 16, 15.
Vamos calcular a média:
Somando todos os valores:
Então,
Agora, vamos calcular o desvio padrão (
):
Primeiro, calculamos cada
, somamos esses valores e dividimos por
.
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores:
Então,
Passo 3
Agora que temos a média (
minutos) e o desvio padrão (
minutos), vamos determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média com uma precisão de
minutos (
segundos) e um nível de confiança de
.
A fórmula para o tamanho da amostra (
) quando queremos estimar uma média é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra. -
é a margem de erro desejada.
Para um nível de confiança de
, o valor de
é aproximadamente
.
A margem de erro (
) é
minutos.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Calculando dentro dos parênteses primeiro:
Agora, elevamos esse valor ao quadrado:
Como não podemos ter uma fração de observação, arredondamos para o próximo número inteiro.
Passo 5
Portanto, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente
observações.
Resposta
O tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio com precisão de 30 segundos e 95% de confiança é de 22 componentes.