Os tempos gastos ( min ) para fabricar um componente industrial são: 13,15,12,14,17,15,16,15,14,16,17, 14,16,15,15,13,14,15,16,15. Qual deve ser o tamanho da amostra para estimar o tempo médio gasto nesta fabricação, com precisão de 30 s e 95 % de certeza? (n=30)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lista de tempos, em minutos, que representam quanto tempo leva para fabricar um componente industrial. Queremos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio de fabricação com uma precisão de 30 segundos (que é 0,5 minutos) e com 95% de confiança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o tamanho da amostra para estimativa de média.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) dos tempos fornecidos. Isso nos ajudará a entender a variabilidade dos dados.
Temos os seguintes tempos (em minutos):
13, 15, 12, 14, 17, 15, 16, 15, 14, 16, 17, 14, 16, 15, 15, 13, 14, 15, 16, 15.
Vamos calcular a média:
barx = sum xin = 13 + 15 + 12 + 14 + 17 + 15 + 16 + 15 + 14 + 16 + 17 + 14 + 16 + 15 + 15 + 13 + 14 + 15 + 16 + 1520
Somando todos os valores:
sum xi = 13 + 15 + 12 + 14 + 17 + 15 + 16 + 15 + 14 + 16 + 17 + 14 + 16 + 15 + 15 + 13 + 14 + 15 + 16 + 15 = 295
Então,
barx = 29520 = 14,75 minutos
Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s):
Primeiro, calculamos cada (xi - barx)^2, somamos esses valores e dividimos por n-1.
s = raizsum (xi - barx)^2n-1
Calculando cada termo:
(13 - 14,75)^2 &= 3,0625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (12 - 14,75)^2 &= 7,5625 (14 - 14,75)^2 &= 0,5625 (17 - 14,75)^2 &= 5,0625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (16 - 14,75)^2 &= 1,5625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (14 - 14,75)^2 &= 0,5625 (16 - 14,75)^2 &= 1,5625 (17 - 14,75)^2 &= 5,0625 (14 - 14,75)^2 &= 0,5625 (16 - 14,75)^2 &= 1,5625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (13 - 14,75)^2 &= 3,0625 (14 - 14,75)^2 &= 0,5625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625 (16 - 14,75)^2 &= 1,5625 (15 - 14,75)^2 &= 0,0625
Somando todos esses valores:
sum (xi - barx)^2 = 3,0625 + 0,0625 + 7,5625 + 0,5625 + 5,0625 + 0,0625 + 1,5625 + 0,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 5,0625 + 0,5625 + 1,5625 + 0,0625 + 0,0625 + 3,0625 + 0,5625 + 0,0625 + 1,5625 + 0,0625 = 26,25
Então,
s = raiz26,2519 approx raiz1,3816 approx 1,175 minutos

Passo 3

Agora que temos a média ( 14,75 minutos) e o desvio padrão ( 1,175 minutos), vamos determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a média com uma precisão de 0,5 minutos ( 30 segundos) e um nível de confiança de 95%.
A fórmula para o tamanho da amostra ( n) quando queremos estimar uma média é:
n = ( Z cdot sE )^2
Onde:
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • s é o desvio padrão da amostra.
  • E é a margem de erro desejada.
Para um nível de confiança de 95%, o valor de Z é aproximadamente 1,96.
A margem de erro ( E) é 0,5 minutos.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
n = ( 1,96 cdot 1,1750,5 )^2

Passo 4

Calculando dentro dos parênteses primeiro:
1,96 cdot 1,1750,5 = 2,3030,5 = 4,606
Agora, elevamos esse valor ao quadrado:
n = (4,606)^2 approx 21,175
Como não podemos ter uma fração de observação, arredondamos para o próximo número inteiro.

Passo 5

Portanto, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 22 observações.

Resposta

O tamanho da amostra necessário para estimar o tempo médio com precisão de 30 segundos e 95% de confiança é de 22 componentes.

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