Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a temperatura ambiente é 20^circ C e a temperatura de um corpo passa de 100^circ C para 60^circ C em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a 30^circ C ?

Passo 1

O enunciado aplica a lei de resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre T(t) e a temperatura ambiente Tamb=20^circC. Sabemos que T(0)=100^circC e que T(20)=60^circC. Vamos usar a solução geral dessa lei para determinar primeiro a constante de proporcionalidade k e depois calcular o tempo até T(t)=30^circC.

Passo 2

A lei de resfriamento de Newton fornece a equação diferencial
dTdt = -kl(T(t) - Tambr)
A solução geral, com condição inicial T(0)=T0, é
T(t) = Tamb + l(T0 - Tambr)e^-k t
Aqui, T0=100 e Tamb=20.

Passo 3

Usando T(20)=60, substituímos na solução:
60 = 20 + (100 - 20)e^-kcdot20 Longrightarrow 60 = 20 + 80,e^-20k Longrightarrow 40 = 80,e^-20k Longrightarrow e^-20k = tfrac12
Tomando logaritmo natural,
-20k = ln!l(tfrac12r) = -ln2 Longrightarrow k = ln220

Passo 4

Queremos t tal que T(t)=30. Então
30 = 20 + 80,e^-k t Longrightarrow 10 = 80,e^-k t Longrightarrow e^-k t = tfrac18
Logo,
-k t = ln!l(tfrac18r) = -ln8 Longrightarrow t = ln8k = ln(2^3)(ln2)/20 = 3ln2(ln2)/20 = 60

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura atinja 30^circC é de 60 minutos.

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