Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a temperatura ambiente é
e a temperatura de um corpo passa de
para
em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a
?
Passo 1
O enunciado aplica a lei de resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa de variação da temperatura
de um corpo é proporcional à diferença entre
e a temperatura ambiente
. Sabemos que
e que
. Vamos usar a solução geral dessa lei para determinar primeiro a constante de proporcionalidade
e depois calcular o tempo até
.
Passo 2
A lei de resfriamento de Newton fornece a equação diferencial
A solução geral, com condição inicial
, é
Aqui,
e
.
Passo 3
Usando
, substituímos na solução:
Tomando logaritmo natural,
Passo 4
Queremos
tal que
. Então
Logo,
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura atinja
é de
minutos.