Achar o tempo necessário para esvaziar um tanque cilíndrico de raio 8 m e altura 10 m , cheio de água, sabendo que a água se escoa através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 10 cm , com uma velocidade v= 4 raizh, sendo h a altura da água no tanque.

Passo 1

O problema pede o tempo T para esvaziar um tanque cilíndrico de raio R=8 m e altura inicial h0=10 m, usando Torricelli, em que a água sai por um orifício de raio r=0,1 m com velocidade v=4raizh. Vamos modelar o escoamento por uma equação diferencial relacionando a altura h(t) ao tempo.

Passo 2

A vazão volumétrica de saída é
Q = Aorif,v
em que
Aorif = pi r^2 = pi(0,1)^2 = 0,01pi
e
v = 4raizh
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Q = 0,01pi cdot 4raizh = 0,04pi,raizh

Passo 3

O volume de água no tanque é V = Atanque,h, com
Atanque = pi R^2 = picdot8^2 = 64pi
Como dV/dt = Atanque,dh/dt e a saída reduz o volume, temos
Atanquedhdt = -Q Longrightarrow 64pi,dhdt = -0,04piraizh
Cancelando pi, fica
dhdt = -0,0464,raizh = -11600,raizh

Passo 4

Separamos variáveis:
dhraizh = -11600,dt
e integramos de h=10 até h=0 e de t=0 até t=T:
integral10^0h^-1/2dh = -11600integral0^Tdt
O lado esquerdo vale
l[2raizhr]10^0 = 2(0-raiz10) = -2raiz10,
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-2raiz10 = -T1600 Longrightarrow T = 3200,raiz10 s

Passo 5

Para dar uma ideia em horas,
T approx 3200cdot3,1623 approx 10119 s approx 2,81 h (aprox 2h 48min)

Resposta

T = 3200raiz10 sapprox2,81 h

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