Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Qual o 2^{o} coeficiente de assimetria de Pearson da distribuição empírica das velocidades medidas?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=20 das velocidades (em km/h) e pede o segundo coeficiente de assimetria de Pearson da distribuição empírica. Para isso precisamos calcular a média amostral \bar V, a mediana \tilde V e o desvio-padrão amostral s, e então aplicar a fórmula do segundo coeficiente de assimetria de Pearson.

Passo 2

Os estimadores são:
– Média amostral
\bar V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_i.
– Mediana (quantil de ordem 0,5), com posição
i_{\text{med}}=\frac{n+1}{2}.
Como n é par, \tilde V=(V_{(i)}+V_{(i+1)})/2 em i=10.
– Desvio-padrão amostral
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(V_i-\bar V)^2}.
– Segundo coeficiente de assimetria de Pearson
S_P=\frac{3\bigl(\bar V-\tilde V\bigr)}{s}.

Passo 3

Cálculo da média:
\sum_{i=1}^{20}V_i=2197{,}62\quad(\mathrm{km/h}),
\bar V=\frac{2197{,}62}{20}=109{,}881\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Cálculo da mediana: ordenando V cresce­nte, temos V_{(10)}=109{,}46 e V_{(11)}=109{,}50. Como
i_{\text{med}}=\frac{20+1}{2}=10{,}5,
\tilde V=\frac{109{,}46+109{,}50}{2}=109{,}48\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Cálculo do desvio-padrão amostral:
\sum_{i=1}^{20}(V_i-\bar V)^2=262{,}498\;(\mathrm{km/h})^2,
s=\sqrt{\frac{262{,}498}{20-1}}=\sqrt{13{,}8157}=3{,}716\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Cálculo do segundo coeficiente de assimetria de Pearson:
S_P=\frac{3\bigl(109{,}881-109{,}48\bigr)}{3{,}716} =\frac{3\times0{,}401}{3{,}716} \approx0{,}324.

Resposta

O segundo coeficiente de assimetria de Pearson vale aproximadamente 0{,}324 (adimensional).

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