Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Qual o nonagésimo percentil das velocidades medidas?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=20 velocidades (em km/h) e pede o nonagésimo percentil 90\%. O conteúdo é estimação de quantil amostral por interpolação linear. Vamos precisar de duas coisas: 1) a fórmula para localizar o índice (posição) do quantil, e 2) a fórmula de interpolação entre as observações ordenadas.

Passo 2

Adotamos como fórmula de posição do percentil p em amostra de tamanho n
i \;=\;\frac{p}{100}\,(n+1)
e como estimador, por interpolação linear,
\hat q_{p} =\bigl(1-\delta\bigr)\,x_{(\lfloor i\rfloor)} +\delta\,x_{(\lfloor i\rfloor+1)},
onde \delta=i-\lfloor i\rfloor e x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)} são os dados ordenados.

Passo 3

Ordenando os 20 valores em ordem crescente (em km/h):
104,40; 104,49; 104,49; 106,18; 107,08; 107,78; 107,80; 107,92; 108,59; 109,46; … até 116,65.
Na forma de vetor:
x_{(1)}=104,40,\;x_{(2)}=104,49,\;x_{(3)}=104,49,\;x_{(4)}=106,18,\;x_{(5)}=107,08,\;\dots,\;x_{(20)}=116,65.

Passo 4

Calculamos a posição para p=90\%:
i=0{,}90\,(20+1)=0{,}90\times21=18{,}9.
Logo \lfloor i\rfloor=18 e \delta=18{,}9-18=0{,}9.

Passo 5

Identificamos x_{(18)}=114,23 km/h e x_{(19)}=115,06 km/h.
Aplicando a interpolação:
\hat q_{90} =(1-0{,}9)\cdot114,23+0{,}9\cdot115,06 =0{,}1\cdot114,23+0{,}9\cdot115,06.

Passo 6

Basta efetuar a conta na primeira linha:
0{,}1\cdot114,23+0{,}9\cdot115,06 =11,423+103,554=114,977\;\text{km/h}.

Resposta

O nonagésimo percentil das velocidades é aproximadamente 114,98 km/h.

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