Considere a distribuição de probabilidade de uma população apresentada na seguinte tabela:
Valor da variável X Probabilidade
1 0,3
3 0,5
5 0,2
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e o desvio padrão de \bar{X}, considerando amostras aleatórias de tamanho 4 .

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade de uma variável X com valores 1,3,5 e probabilidades 0,3, 0,5 e 0,2, respectivamente. Pede-se a média e o desvio padrão da média amostral \bar{X} para amostras de tamanho n=4. Para resolver, vamos usar as propriedades
  1. E(\bar{X}) = E(X)
  2. \mathrm{Var}(\bar{X}) = \mathrm{Var}(X)/n
  3. \mathrm{SD}(\bar{X}) = \sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X})}
    Para isso precisamos calcular primeiro E(X) e \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Calcular a esperança de X:
E(X) \;=\;\sum x\,P(X=x) \;=\;1\cdot0,3\;+\;3\cdot0,5\;+\;5\cdot0,2 \;=\;0,3\;+\;1,5\;+\;1,0 \;=\;2,8.

Passo 3

Calcular E(X^2) e em seguida \mathrm{Var}(X):
E(X^2) =\sum x^2\,P(X=x) =1^2\cdot0,3 + 3^2\cdot0,5 + 5^2\cdot0,2 =0,3 + 4,5 + 5,0 =9,8.
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-\bigl[E(X)\bigr]^2 =9,8 - (2,8)^2 =9,8 - 7,84 =1,96.

Passo 4

Usar as fórmulas da distribuição amostral:
E(\bar{X}) = E(X) = 2,8,
\mathrm{Var}(\bar{X}) = \frac{\mathrm{Var}(X)}{n} = \frac{1,96}{4} =0,49,
\mathrm{SD}(\bar{X}) =\sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X})} =\sqrt{0,49} =0,7.

Resposta

A média da média amostral é E(\bar{X})=2,8 e o desvio padrão é \mathrm{SD}(\bar{X})=0,7.

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