Um laboratório de resistência de materiais obteve as seguintes resistências de ruptura (em M P a, aos 28 dias de cura) de uma amostra de vinte corpos de prova de prova de concreto de um determinado lote de uma etapa de construção de um cliente.
\mathbf{R}=\{14.58 ; 16.66 ; 15.30 ; 13.59 ; 15.30 ; 12.87 ; 15.83 ; 14.85 ; 12.26 ; 14.39 ; 11.89 ; 16.96 ; 15.69 ; 14.78 ; 15.95; 15.27; 11.51; 14.78; 17.34; 16.66}
  • Para cada item pedido escreva o estimador (a “fórmula”).
  • Para quantis, apresente a fórmula adotada para localização da posição (índice).
  • Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
  • Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
    Qual o segundo quartil (também chamado de mediana, 5^{\circ} decil ou 50^{\circ} percentil) das resistências medidas?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 resistências de ruptura em \mathrm{MPa} e pede o segundo quartil (mediana), que é o quantil de ordem p=0,5. Para resolver, vamos usar o estimador de quantil amostral baseado na fórmula de posição L=p\,(n+1).

Passo 2

O estimador de um quantil de ordem p em amostra de tamanho n é dado por
L \;=\; p\,(n+1).
Se L for inteiro, então
\hat Q_{p} \;=\; X_{(L)},
senão escrevemos L = k + \delta com k = \lfloor L\rfloor e \delta = L - k, e
\hat Q_{p} \;=\; (1-\delta)\,X_{(k)} \;+\; \delta\,X_{(k+1)}.

Passo 3

Para p=0,5 e n=20 temos
L = 0,5\,(20+1) = 10,5,
isto é, k = 10 e \delta = 0,5.

Passo 4

Ordenando os dados em ordem crescente, os valores de interesse são
X_{(10)} = 14{,}85,\quad X_{(11)} = 15{,}27.
Logo, a mediana é
\hat Q_{0,5} = (1-0,5)\,X_{(10)} + 0,5\,X_{(11)} = \tfrac12\,(14{,}85 + 15{,}27) = 15{,}06\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\displaystyle 15{,}06\\ \mathrm{MPa}

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