Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}\n-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").
-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).
-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.
-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Caso haja alguma velocidade modal,qual(ais)é(são)?

Passo 1

Temos uma amostra de n=20 velocidades (em \mathrm{km/h}). Vamos calcular as medidas de posição e dispersão seguintes: média amostral, variância amostral, desvio‐padrão amostral, quartis Q_1, Q_2 (mediana) e Q_3, e a(s) moda(s). Para os quantis usaremos o estimador de ordem p com índice
I = p\,(n+1).

Passo 2

Estimador da média amostral:
\bar{V} \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_i.
Primeira linha de cálculo:
\bar{V} = \frac{1}{20}\bigl[107,92 + 107,78 + \dots + 113,62\bigr].
Somando todos os termos obtemos \sum V_i = 2197,62, logo
\bar{V} = \frac{2197,62}{20} = 109,881\;\text{km/h}.

Passo 3

Estimador da variância amostral (não‐viesado):
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(V_i - \bar{V}\bigr)^2.
Primeira linha de cálculo:
s^2 = \frac{1}{19}\Bigl[(107,92 - 109,881)^2 + \dots + (113,62 - 109,881)^2\Bigr].
Calculando todos os quadrados a soma dá aproximadamente 262,456, então
s^2 = \frac{262,456}{19} \approx 13,820\;(\mathrm{km/h})^2.

Passo 4

Estimador do desvio‐padrão amostral:
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{13,820} \approx 3,716\;\text{km/h}.

Passo 5

Para os quartis usamos I=p(n+1). Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente.
  • Q_1 p=0,25:
I_1 = 0,25\,(20+1) = 5,25,
Q_1 = x_{5} + 0,25\,(x_{6}-x_{5}) = 107,08 + 0,25\,(107,78 - 107,08) = 107,255\;\text{km/h}.
  • Q_2 (mediana, p=0,5):
I_2 = 0,5\,(21) = 10,5,
Q_2 = \frac{x_{10} + x_{11}}{2} = \frac{109,46 + 109,50}{2} = 109,48\;\text{km/h}.
  • Q_3 p=0,75:
I_3 = 0,75\,(21) = 15,75,
Q_3 = x_{15} + 0,75\,(x_{16}-x_{15}) = 113,43 + 0,75\,(113,60 - 113,43) = 113,5575\;\text{km/h}.

Passo 6

Moda: valor(es) com maior frequência. Na amostra só há duplicata em 104,49\;\text{km/h}.
Logo a moda é
\text{Moda} = 104,49\;\text{km/h}.

Resposta

\displaystyle \bar{V}=109,881\;\mathrm{km/h} \displaystyle s^2=13,820\;(\mathrm{km/h})^2 \displaystyle s=3,716\;\mathrm{km/h} \displaystyle Q_1=107,255\;\mathrm{km/h} \displaystyle Q_2=109,48\;\mathrm{km/h} \displaystyle Q_3=113,5575\;\mathrm{km/h}
Moda: 104,49\;\mathrm{km/h}.

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