A urna 1 contém uma bola branca e uma bola azul, a urna 2 contém duas bolas brancas e uma bola azul, a urna 3 contém três bolas brancas e uma bola azul. Sorteia-se uma dessas três urnas (com equiprobabilidade) e (da urna sorteada) extrai-se uma bola (com equiprobabilidade). Considere os seguintes eventos:
E_{1} : a urna 1 foi sorteada.
E_{2} : a urna 2 foi sorteada.
E_{3} : a urna 3 foi sorteada.
B : a bola extraída é branca.
Responda as perguntas abaixo com números, ou com as expressões positivamente correlacionados, negativamente correlacionados, independentes.
(a) P(B)=
(b) P\left(E_{1} \mid B\right)=
(c) E_{1} e B são

Passo 1

O enunciado descreve três urnas escolhidas com probabilidades iguais P(E_{1})=P(E_{2})=P(E_{3})=\tfrac{1}{3}. Em cada urna extraímos uma bola com igual chance. As composições são:
– Urna 1: 1 branca, 1 azul, logo P(B\mid E_{1})=\tfrac{1}{2}.
– Urna 2: 2 brancas, 1 azul, logo P(B\mid E_{2})=\tfrac{2}{3}.
– Urna 3: 3 brancas, 1 azul, logo P(B\mid E_{3})=\tfrac{3}{4}.
Vamos usar a probabilidade total e o Teorema de Bayes, e depois verificar independência/correlação.

Passo 2

Aplicando a probabilidade total para P(B):
P(B)=\sum_{i=1}^{3}P(E_{i})\,P(B\mid E_{i}) =\tfrac{1}{3}\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{4}\Bigr) =\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{6+8+9}{12} =\tfrac{23}{36}.

Passo 3

Usando Bayes para P(E_{1}\mid B):
P(E_{1}\mid B) =\frac{P(E_{1})\,P(B\mid E_{1})}{P(B)} =\frac{\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}}{\tfrac{23}{36}} =\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{23}{36}} =\frac{6}{23}.

Passo 4

Verificamos independência comparando P(E_{1})P(B) com P(E_{1}\cap B)=P(E_{1})P(B\mid E_{1}):
P(E_{1})P(B)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{23}{36}=\tfrac{23}{108}, \quad P(E_{1}\cap B)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}.
Como \tfrac{1}{6}\neq\tfrac{23}{108}, não são independentes. Além disso,
P(E_{1}\mid B)=\tfrac{6}{23}\approx0,26 < P(E_{1})=\tfrac{1}{3}\approx0,33,
logo a ocorrência de B reduz a chance de E_{1}: são negativamente correlacionados.

Resposta

(a) P(B)=\tfrac{23}{36}
(b) P(E_{1}\mid B)=\tfrac{6}{23}
(c) E_{1} e B são negativamente correlacionados.

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