A urna 1 contém uma bola branca e uma bola azul, a urna 2 contém duas bolas brancas e uma bola azul, a urna 3 contém três bolas brancas e uma bola azul. Sorteia-se uma dessas três urnas (com equiprobabilidade) e (da urna sorteada) extrai-se uma bola (com equiprobabilidade). Considere os seguintes eventos:
: a urna 1 foi sorteada.
: a urna 2 foi sorteada.
: a urna 3 foi sorteada.
: a bola extraída é branca.
Responda as perguntas abaixo com números, ou com as expressões positivamente correlacionados, negativamente correlacionados, independentes.
(a)
(b)
(c)
e
são
Responda as perguntas abaixo com números, ou com as expressões positivamente correlacionados, negativamente correlacionados, independentes.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado descreve três urnas escolhidas com probabilidades iguais
. Em cada urna extraímos uma bola com igual chance. As composições são:
– Urna 1: 1 branca, 1 azul, logo .
– Urna 2: 2 brancas, 1 azul, logo .
– Urna 3: 3 brancas, 1 azul, logo .
Vamos usar a probabilidade total e o Teorema de Bayes, e depois verificar independência/correlação.
– Urna 1: 1 branca, 1 azul, logo
– Urna 2: 2 brancas, 1 azul, logo
– Urna 3: 3 brancas, 1 azul, logo
Vamos usar a probabilidade total e o Teorema de Bayes, e depois verificar independência/correlação.
Passo 2
Aplicando a probabilidade total para
:
Passo 3
Usando Bayes para
:
Passo 4
Verificamos independência comparando
com
:
Como
, não são independentes. Além disso,
logo a ocorrência de
reduz a chance de
: são negativamente correlacionados.
Resposta
(a)
(b)
(c) e
são negativamente correlacionados.
(b)
(c)