A probabilidade de uma certa amostra radioativa emitir (pelo menos) uma partícula alfa num intervalo de 10 ms é \frac{1}{3}.
(a) Qual é a probabilidade de essa amostra emitir (pelo menos) uma partícula alfa num intervalo de 20 ms ?
(b) Qual é a probabilidade de essa amostra emitir (pelo menos) uma partícula alfa num intervalo de 30 ms ? \qquad

Passo 1

O enunciado dá que a probabilidade de emitir pelo menos uma partícula alfa num intervalo de 10 ms é \tfrac{1}{3}. Vamos modelar as emissões como um processo de Poisson de taxa constante \lambda. Nesse modelo, para um intervalo de duração t (em ms), a probabilidade de ocorrer pelo menos uma emissão é
P(\text{>=1 em }t) \;=\; 1 - e^{-\lambda\,t}.

Passo 2

Para t=10 ms sabemos que
1 - e^{-\lambda\cdot 10} = \tfrac{1}{3},
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e^{-\lambda\cdot 10} = \tfrac{2}{3}
e daí
\lambda = -\frac{1}{10}\,\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 3

Para um intervalo de 20 ms a probabilidade de ao menos uma emissão é
P(\text{>=1 em }20) = 1 - e^{-\lambda\cdot 20} = 1 - \bigl(e^{-\lambda\cdot 10}\bigr)^{2} = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} = 1 - \tfrac{4}{9} = \tfrac{5}{9}.

Passo 4

Para um intervalo de 30 ms a probabilidade de ao menos uma emissão é
P(\text{>=1 em }30) = 1 - e^{-\lambda\cdot 30} = 1 - \bigl(e^{-\lambda\cdot 10}\bigr)^{3} = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{3} = 1 - \tfrac{8}{27} = \tfrac{19}{27}.

Resposta

(a) \tfrac{5}{9}
(b) \tfrac{19}{27}

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