Uma empresa de previdência complementar oferece planos de contribuição individual. A área de marketing observou que o número x de novos clientes mensais depende do preço p da mensalidade segundo a função: x=1.200-10 p. Sabe-se, ainda, que o custo mensal para atender aos clientes é estimado por C(x)=10.000+15 x. Qual deve ser o valor da mensalidade que maximiza o lucro mensal dessa empresa?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma empresa de previdência que oferece planos de contribuição individual. A ideia é descobrir qual deve ser o preço da mensalidade para que a empresa tenha o maior lucro possível por mês.
Matéria envolvida: Funções lineares e otimização (maximização de lucro).
O que precisamos: Entender as funções que relacionam o número de clientes com o preço, calcular o lucro e encontrar o valor do preço que maximiza esse lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações fornecidas:
  • Número de novos clientes mensais ( x): Depende do preço da mensalidade ( p) pela função:
    x = 1200 - 10p
  • Custo mensal para atender os clientes ( C(x)):
    C(x) = 10.000 + 15x

Passo 3

Agora, vamos pensar no lucro da empresa. O lucro ( L) é dado pela diferença entre a receita e o custo.
  • Receita ( R): É o quanto a empresa ganha vendendo os planos. Se cada cliente paga p, e temos x clientes, a receita é:
    R = p times x
  • Custo ( C): Já está definido como:
    C = 10.000 + 15x
Então, o lucro fica:
L = R - C = px - (10.000 + 15x)

Passo 4

Vamos substituir a expressão de x pela que foi dada na função do número de clientes:
x = 1200 - 10p
Substituindo na função do lucro:
L = p(1200 - 10p) - (10.000 + 15(1200 - 10p))

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para facilitar o cálculo:
  1. Distribuir o p na primeira parte:
    L = 1200p - 10p^2 - (10.000 + 18.000 - 150p)
  2. Distribuir o sinal de menos na segunda parte:
    L = 1200p - 10p^2 - 10.000 - 18.000 + 150p
  3. Agrupar os termos semelhantes:
    L = -10p^2 + (1200p + 150p) - 28.000
    L = -10p^2 + 1350p - 28.000

Passo 6

Agora temos a função do lucro em termos do preço p:
L(p) = -10p^2 + 1350p - 28.000
Para encontrar o valor de p que maximiza o lucro, vamos encontrar o ponto de máximo dessa função quadrática.

Passo 7

Sabemos que uma função quadrática da forma f(p) = ap^2 + bp + c tem seu ponto de máximo (se a < 0) no valor de p dado por:
p = -b2a
No nosso caso, a = -10 e b = 1350.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
p = -13502 times (-10) = -1350-20 = 67,5

Resposta

O valor da mensalidade que maximiza o lucro mensal da empresa é de R$ 67,50.

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