Uma empresa de previdência complementar oferece planos de contribuição individual. A área de marketing observou que o número
de novos clientes mensais depende do preço
da mensalidade segundo a função:
. Sabe-se, ainda, que o custo mensal para atender aos clientes é estimado por
. Qual deve ser o valor da mensalidade que maximiza o lucro mensal dessa empresa?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma empresa de previdência que oferece planos de contribuição individual. A ideia é descobrir qual deve ser o preço da mensalidade para que a empresa tenha o maior lucro possível por mês.
Matéria envolvida: Funções lineares e otimização (maximização de lucro).
O que precisamos: Entender as funções que relacionam o número de clientes com o preço, calcular o lucro e encontrar o valor do preço que maximiza esse lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações fornecidas:
-
Número de novos clientes mensais (
): Depende do preço da mensalidade ( ) pela função: -
Custo mensal para atender os clientes (
):
Passo 3
Agora, vamos pensar no lucro da empresa. O lucro (
) é dado pela diferença entre a receita e o custo.
-
Receita (
): É o quanto a empresa ganha vendendo os planos. Se cada cliente paga , e temos clientes, a receita é: -
Custo (
): Já está definido como:
Então, o lucro fica:
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
pela que foi dada na função do número de clientes:
Substituindo na função do lucro:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação para facilitar o cálculo:
-
Distribuir o
na primeira parte: -
Distribuir o sinal de menos na segunda parte:
-
Agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora temos a função do lucro em termos do preço
:
Para encontrar o valor de
que maximiza o lucro, vamos encontrar o ponto de máximo dessa função quadrática.
Passo 7
Sabemos que uma função quadrática da forma
tem seu ponto de máximo (se
) no valor de
dado por:
No nosso caso,
e
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Resposta
O valor da mensalidade que maximiza o lucro mensal da empresa é de R$ 67,50.