Uma seguradora oferece um plano de seguro de vida com prêmio mensal p. Estima-se que o número x de contratos vendidos é dado por: x=2000-25 p. O custo mensal da seguradora é composto de um custo fixo de e custo variável unitário de e custo variável unitário de . Dessa forma, qual o valor da mensalidade 12 que maximiza o lucro da seguradora?

Passo 1

O enunciado fala de um plano de seguro de vida com prêmio mensal p, onde o número de contratos vendidos é x=2000-25p. O custo da seguradora é 10.000 fixos mais 12 por contrato. Vamos precisar montar a função de lucro e otimizá-la usando derivada ou vértice de parábola.

Passo 2

A receita mensal R(p) é o preço p vezes a quantidade vendida x. Logo:
R(p)=pcdot x = p,(2000-25p)=2000p-25p^2
O custo total C(p) é a soma do custo fixo com o custo variável unitário:
C(p)=10000+12,x =10000+12(2000-25p)=10000+24000-300p=34000-300p

Passo 3

A função lucro pi(p) é dada por R(p)-C(p). Substituindo:
pi(p)=l(2000p-25p^2r)-l(34000-300pr)=2000p-25p^2-34000+300p=2300p-25p^2-34000

Passo 4

Para achar o máximo de uma função quadrática pi(p)=ap^2+bp+c (com a<0), podemos usar a fórmula do vértice p^*=-tfracb2a. Aqui temos a=-25 e b=2300, então:
p^*=-23002(-25)=230050=46

Passo 5

Isso significa que o prêmio mensal que maximiza o lucro é boxed46 dólares.
Verificamos que a segunda derivada pi''(p)=-50<0, confirmando que é um ponto de máximo.

Resposta

O valor de p que maximiza o lucro é 46 dólares.

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