Uma seguradora oferece um plano de seguro de vida com prêmio mensal
. Estima-se que o número
de contratos vendidos é dado por:
. O custo mensal da seguradora é composto de um custo fixo de
e custo variável unitário de
. Dessa forma, qual o valor da mensalidade
que maximiza o lucro da seguradora?
Passo 1
O enunciado fala de um plano de seguro de vida com prêmio mensal
, onde o número de contratos vendidos é
. O custo da seguradora é
fixos mais
por contrato. Vamos precisar montar a função de lucro e otimizá-la usando derivada ou vértice de parábola.
Passo 2
A receita mensal
é o preço
vezes a quantidade vendida
. Logo:
O custo total
Passo 3
A função lucro
é dada por
. Substituindo:
Passo 4
Para achar o máximo de uma função quadrática
(com
), podemos usar a fórmula do vértice
. Aqui temos
e
, então:
Passo 5
Isso significa que o prêmio mensal que maximiza o lucro é
dólares.
Verificamos que a segunda derivada , confirmando que é um ponto de máximo.
Verificamos que a segunda derivada
Resposta
O valor de
que maximiza o lucro é 46 dólares.