Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
12 y^prime prime-raiz22 y^prime+14 y=18 x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
12,y''-raiz22,y'+14,y=18,x^3
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular polinomial.

Passo 2

Multiplicando tudo por 2 para simplificar os coeficientes, obtemos
y''-raiz2,y'+tfrac12,y=tfrac14,x^3
A parte homogênea é
y''-raiz2,y'+tfrac12,y=0
e sua equação característica é
r^2-raiz2,r+tfrac12=0
O discriminante vale De<a=(raiz2)^2-4cdottfrac12=2-2=0, logo há raiz dupla
r=raiz22
Portanto a solução homogênea é
yh(x)=l(C1 + C2,xr)e^raiz22x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é o polinômio tfrac14,x^3, propomos uma solução particular do mesmo grau:
yp(x)=A,x^3 + B,x^2 + C,x + D

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp'(x)=3A,x^2+2B,x+C, yp''(x)=6A,x+2B
Substituímos na forma simplificada da EDO
y''-raiz2,y'+tfrac12,y=tfrac14,x^3

Passo 5

Ao substituir, o lado esquerdo vira
A seguir agrupamos potências de
Isso deve igualar aos coeficientes de (\tfrac14,x3+0,x2+0,x+0].

Passo 6

Igualando coeficientes obtemos o sistema
tfrac12,A=tfrac14, -3raiz2,A+tfrac12,B=0, 6A-2raiz2,B+tfrac12,C=0, 2B-raiz2,C+tfrac12,D=0
Da primeira equação surge A=tfrac12. Substituindo nas próximas:
-3raiz2cdottfrac12+tfrac12,B=0 Rightarrow B=3raiz2,
6cdottfrac12-2raiz2cdot3raiz2+tfrac12,C=0 Rightarrow C=18,
2cdot3raiz2-raiz2cdot18+tfrac12,D=0 Rightarrow D=24raiz2

Passo 7

Assim a solução particular é
yp(x)=tfrac12,x^3+3raiz2,x^2+18,x+24raiz2
Logo a solução geral da equação original é
y(x)=yh(x)+yp(x) =l(C1 + C2,xr)e^raiz22x +tfrac12,x^3+3raiz2,x^2+18,x+24raiz2

Resposta

y(x)=l(C1 + C2,xr)e^raiz22x +12,x^3+3raiz2,x^2+18,x+24raiz2

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