Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular polinomial.
Passo 2
Multiplicando tudo por
para simplificar os coeficientes, obtemos
A parte homogênea é
e sua equação característica é
O discriminante vale
, logo há raiz dupla
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é o polinômio
, propomos uma solução particular do mesmo grau:
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituímos na forma simplificada da EDO
Passo 5
Ao substituir, o lado esquerdo vira
A seguir agrupamos potências de
Isso deve igualar aos coeficientes de (\tfrac14,x3+0,x2+0,x+0].
Passo 6
Igualando coeficientes obtemos o sistema
Da primeira equação surge
A=tfrac12 . Substituindo nas próximas:
Passo 7
Assim a solução particular é
Logo a solução geral da equação original é