Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a equação diferencial dada.
12 y^prime prime-2 raiz2 y^prime+4 y=4 x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
12,y''-2raiz2,y'+4,y=4x^3+1
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão multiplicando tudo por 2:
y''-4raiz2,y'+8,y = 8x^3+2

Passo 3

A parte homogênea satisfaz
y''-4raiz2,y'+8,y=0
A equação característica é
r^2-4raiz2,r+8=0,
com discriminante De<a=(4raiz2)^2-4cdot1cdot8=32-32=0. Logo, há raiz dupla
r= 4raiz22=2raiz2
Portanto
yh(x) = (C1 + C2,x),e^2raiz2x

Passo 4

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é polinomial de grau 3, tentamos
yp(x)=a,x^3 + b,x^2 + c,x + d
Calculamos as derivadas:
yp'(x)=3a,x^2+2b,x+c, yp''(x)=6a,x+2b

Passo 5

Substituímos em
y''-4raiz2,y'+8,y = 8x^3+2
e agrupamos por potências de x:
(6a,x+2b) -4raiz2(3a,x^2+2b,x+c) +8(a,x^3+b,x^2+c,x+d) =8x^3+2
Isso gera o sistema de coeficientes:
  1. x^3: ;8a=8;Longrightarrow;a=1
  2. x^2: -12raiz2a+8b=0;Longrightarrow;8b=12raiz2;Longrightarrow;b=tfrac3raiz22
  3. x^1: 6a-8raiz2b+8c=0;Longrightarrow;6-8raiz2cdottfrac3raiz22+8c=0;Longrightarrow;-18+8c=0;Longrightarrow;c=tfrac94
  4. x^0: 2b-4raiz2c+8d=2;Longrightarrow;2cdottfrac3raiz22-4raiz2cdottfrac94+8d=2;Longrightarrow;-6raiz2+8d=2;Longrightarrow;d=tfrac1+3raiz24

Passo 6

Portanto a parte particular é
yp(x)=x^3 + 3raiz22,x^2 + 94,x + 1+3raiz24

Passo 7

A solução geral da equação é
y(x)=yh(x)+yp(x) =(C1 + C2,x)e^2raiz2x + x^3 + 3raiz22,x^2 + 94,x + 1+3raiz24

Resposta

boxedy(x)=(C1 + C2,x)e^2raiz2x + x^3 + 3raiz22,x^2 + 94,x + 1+3raiz24

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