Seis indivíduos, incluindo
e
, sentam-se ao redor de uma mesa redonda de forma totalmente aleatória. Suponha que os lugares sejam numerados de
. Seja
o número do assento de
e
o número do assento de
. Se
mandar um bilhete, ao redor da mesa, para
, na direção em que estão mais próximos, quantos indivíduos (incluindo
e
) você espera que peguem o bilhete?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há seis indivíduos sentados aleatoriamente em torno de uma mesa redonda com os lugares numerados de
a . - Dois desses indivíduos são
e . Seja o número do assento de e o número do assento de . -
envia um bilhete para passando-o de mão em mão ao redor da mesa na direção em que e estão mais próximos (isto é, pelo arco circular de menor comprimento).
O que o problema pede é: calcular a esperança (valor esperado) do número de indivíduos que vão pegar o bilhete, contandoe .
Passo 2
Por simetria posso fixar
em um assento (por exemplo o assento
) sem alterar probabilidades relativas. Assim,
está igualmente provável em qualquer um dos outros
assentos.
Defino a distância circular mínima entre e
por
Defino a distância circular mínima entre
Essa
é o número de “passos” (pessoas intermediárias) entre
e
quando se vai pelo caminho mais curto; o número de indivíduos que pegam o bilhete, contando
e
, é
Vou achar a distribuição de
(com
fixo) e então calcular
.
Passo 3
Com
em
, as posições possíveis de
e as respectivas distâncias
são:
- Se
está em ou em , então e . (2 casos) - Se
está em ou em , então e . (2 casos) - Se
está em , então e . (1 caso)
Como os
assentos são igualmente prováveis para
, obtemos as probabilidades
Passo 4
Usando
, a esperança é
Substituindo as probabilidades:
Agora calculo cada termo:
Somando:
Passo 5
Como
, a esperança do número de indivíduos que pegarão o bilhete (incluindo
e
) é
, isto é, em média
pessoas.