Seis indivíduos, incluindo A e B, sentam-se ao redor de uma mesa redonda de forma totalmente aleatória. Suponha que os lugares sejam numerados de 1, \cdots, 6. Seja X= o número do assento de A e Y= o número do assento de B. Se A mandar um bilhete, ao redor da mesa, para B, na direção em que estão mais próximos, quantos indivíduos (incluindo A e B ) você espera que peguem o bilhete?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há seis indivíduos sentados aleatoriamente em torno de uma mesa redonda com os lugares numerados de 1 a 6.
  • Dois desses indivíduos são A e B. Seja X o número do assento de A e Y o número do assento de B.
  • A envia um bilhete para B passando-o de mão em mão ao redor da mesa na direção em que A e B estão mais próximos (isto é, pelo arco circular de menor comprimento).
    O que o problema pede é: calcular a esperança (valor esperado) do número de indivíduos que vão pegar o bilhete, contando A e B.

Passo 2

Por simetria posso fixar A em um assento (por exemplo o assento 1) sem alterar probabilidades relativas. Assim, B está igualmente provável em qualquer um dos outros 5 assentos.
Defino a distância circular mínima entre A e B por
d=\min\bigl(|X-Y|,\;6-|X-Y|\bigr).
Essa d é o número de “passos” (pessoas intermediárias) entre A e B quando se vai pelo caminho mais curto; o número de indivíduos que pegam o bilhete, contando A e B, é
L=d+1.
Vou achar a distribuição de d (com A fixo) e então calcular \mathbb{E}[L].

Passo 3

Com A em 1, as posições possíveis de B e as respectivas distâncias d são:
  • Se B está em 2 ou em 6, então |X-Y|=1 e d=1. (2 casos)
  • Se B está em 3 ou em 5, então |X-Y|=2 e d=2. (2 casos)
  • Se B está em 4, então |X-Y|=3 e d=3. (1 caso)
Como os 5 assentos são igualmente prováveis para B, obtemos as probabilidades
\mathbb{P}(d=1)=\frac{2}{5},\qquad \mathbb{P}(d=2)=\frac{2}{5},\qquad \mathbb{P}(d=3)=\frac{1}{5}.

Passo 4

Usando L=d+1, a esperança é
\mathbb{E}[L]=\sum_{d} (d+1)\,\mathbb{P}(d).
Substituindo as probabilidades:
\mathbb{E}[L]=(1+1)\cdot\frac{2}{5}+(2+1)\cdot\frac{2}{5}+(3+1)\cdot\frac{1}{5}.
Agora calculo cada termo:
(1+1)\cdot\frac{2}{5}=2\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5},
(2+1)\cdot\frac{2}{5}=3\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{5},
(3+1)\cdot\frac{1}{5}=4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
Somando:
\mathbb{E}[L]=\frac{4}{5}+\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=\frac{14}{5}.

Passo 5

Como \dfrac{14}{5}=2,8, a esperança do número de indivíduos que pegarão o bilhete (incluindo A e B) é \dfrac{14}{5}, isto é, em média 2,8 pessoas.

Resposta

\dfrac{14}{5}=2,8

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