Na transmissão de informação digital, a probabilidade de um bit ter alta, moderada e baixa distorção é
e 0.95 , respectivamente. Suponha que três bits sejam transmitidos e que a quantidade de distorção de cada bit seja considerada independente. Sejam
e
o número de bits com alta e moderada distorção, respectivamente. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
.
f)
e
são independentes?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O que o enunciado dá (dados que peguei do enunciado):
- Três bits são transmitidos (portanto
observações independentes). - Probabilidades por bit:
- alta distorção:
. - moderada distorção:
. - baixa distorção:
.
- alta distorção:
- As distorções em bits diferentes são independentes.
O que o enunciado pede:
a) A função massa de probabilidade conjunta para
= número de bits com alta distorção e
= número de bits com moderada distorção.
b) A função massa de probabilidade marginal de ,
.
c) O valor esperado .
d) A função massa de probabilidade condicional de dado
,
.
e) O valor esperado condicional .
f) Determinar se e
são independentes.
a) A função massa de probabilidade conjunta
b) A função massa de probabilidade marginal de
c) O valor esperado
d) A função massa de probabilidade condicional de
e) O valor esperado condicional
f) Determinar se
Observação útil sobre suporte (não estou resolvendo ainda):
deve ser tal que
,
,
e ambos inteiros, porque há só 3 bits.
Passo 2
Entendendo a estrutura combinatória do problema (como contamos as ocorrências):
- Cada bit pode cair em uma de três categorias (alta, moderada, baixa) com probabilidades
. - Quando contamos
e (e implicitamente baixos), o número de sequências de bits que produzem exatamente essa combinação é o coeficiente multinomial
- Em cada uma dessas sequências a probabilidade de ocorrência é
.
Isto nos prepara para escrever a pmf conjunta multinomial.
Passo 3
Construindo a pmf conjunta
(resposta à letra a).
- Pela argumentação multinomial,
com suporte
- Substituindo os valores dados
,
para
inteiros não-negativos com
.
(Exemplo ilustrativo: para
há
arranjos e
.)
Passo 4
Obtendo a marginal
(letra b) e explicando por que é binomial:
- Se só nos importamos com o número de “altas”
, podemos agrupar as categorias “moderada ou baixa” como “não-alta” com probabilidade . - Então
conta quantos sucessos (alta) em tentativas independentes com probabilidade por tentativa: é uma . - Logo
- Substituindo
e ,
- Podemos ainda calcular os valores numéricos (úteis na prova):
Passo 5
Calculando
(letra c) e entendendo a fórmula:
- Para uma variável binomial
vale a fórmula padrão do valor esperado:
- Aqui
e , portanto
- Intuição: em média se espera
bits com alta distorção em 3 bits (valor pequeno porque é pequeno).
Passo 6
Derivando
— a distribuição de
dado
(letra d):
- Condicionar
significa que uma das 3 observações já foi identificada como “alta”; restam bits onde só podem ocorrer “moderada” ou “baixa”. - Dado que ocorreu uma alta, as probabilidades relativas das categorias moderada e baixa entre os bits restantes são renormalizadas:
- Entre os 2 bits restantes, o número
de moderadas segue uma binomial com e probabilidade . Portanto, para ,
- Valores numéricos aproximados (para conferir):
(As aproximações somam a 1 dentro de erro de arredondamento.)
Passo 7
Calculando
(letra e):
- Para uma binomial
vale . - Aqui, condicionando
, temos e . Então
Passo 8
Verificando independência entre
e
(letra f):
- Um fato geral sobre multinomial: para
fixo e categorias com probabilidades , as contagens satisfazem, para ,
- Aplicando aqui com
,
- Como a covariância é diferente de zero,
e não são independentes. - Intuição simples: se aparecem muitas “altas” sobra menos espaço para “moderadas” (a soma das contagens é fixa), daí dependência negativa.
- (Como verificação numérica rápida:
, enquanto ; não coincidem exatamente — consistência com não independência.)
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f) Não;
e
não são independentes (por exemplo
).