Na transmissão de informação digital, a probabilidade de um bit ter alta, moderada e baixa distorção é 0.01,0.04 e 0.95 , respectivamente. Suponha que três bits sejam transmitidos e que a quantidade de distorção de cada bit seja considerada independente. Sejam X e Y o número de bits com alta e moderada distorção, respectivamente. Determine:
a) f(x, y)
b) f_{X}(x)
c) E(X)
d) f_{Y \mid 1}(y)
e) E(Y \mid X=1).
f) X e Y são independentes?

Passo 1

O que o enunciado dá (dados que peguei do enunciado):
  • Três bits são transmitidos (portanto n=3 observações independentes).
  • Probabilidades por bit:
    • alta distorção: \,p_H=0,01.
    • moderada distorção: \,p_M=0,04.
    • baixa distorção: \,p_L=0,95.
  • As distorções em bits diferentes são independentes.
O que o enunciado pede:
a) A função massa de probabilidade conjunta f(x,y) para X = número de bits com alta distorção e Y = número de bits com moderada distorção.
b) A função massa de probabilidade marginal de X, f_X(x).
c) O valor esperado E(X).
d) A função massa de probabilidade condicional de Y dado X=1, f_{Y\mid 1}(y).
e) O valor esperado condicional E(Y\mid X=1).
f) Determinar se X e Y são independentes.
Observação útil sobre suporte (não estou resolvendo ainda): (x,y) deve ser tal que x\ge0, y\ge0, x+y\le3 e ambos inteiros, porque há só 3 bits.

Passo 2

Entendendo a estrutura combinatória do problema (como contamos as ocorrências):
  • Cada bit pode cair em uma de três categorias (alta, moderada, baixa) com probabilidades \,p_H,p_M,p_L.
  • Quando contamos X=x e Y=y (e implicitamente Z=3-x-y baixos), o número de sequências de bits que produzem exatamente essa combinação é o coeficiente multinomial
\frac{3!}{x!\,y!\,(3-x-y)!}.
  • Em cada uma dessas sequências a probabilidade de ocorrência é p_H^{\,x} p_M^{\,y} p_L^{\,3-x-y}.
    Isto nos prepara para escrever a pmf conjunta multinomial.

Passo 3

Construindo a pmf conjunta f(x,y) (resposta à letra a).
  • Pela argumentação multinomial,
f(x,y)=P(X=x,Y=y)=\frac{3!}{x!\,y!\,(3-x-y)!}\,p_H^{\,x}\,p_M^{\,y}\,p_L^{\,3-x-y},
com suporte \;x=0,1,2,3;\; y=0,1,2,3;\; x+y\le3.
  • Substituindo os valores dados \,p_H=0,01,\;p_M=0,04,\;p_L=0,95,
f(x,y)=\frac{3!}{x!\,y!\,(3-x-y)!}\,(0,01)^{x}\,(0,04)^{y}\,(0,95)^{3-x-y},
para x,y inteiros não-negativos com x+y\le3.
(Exemplo ilustrativo: para x=1,y=1 \dfrac{3!}{1!1!1!}=6 arranjos e f(1,1)=6\cdot0,01\cdot0,04\cdot0,95.)

Passo 4

Obtendo a marginal f_X(x) (letra b) e explicando por que é binomial:
  • Se só nos importamos com o número de “altas” X, podemos agrupar as categorias “moderada ou baixa” como “não-alta” com probabilidade 1-p_H.
  • Então X conta quantos sucessos (alta) em n=3 tentativas independentes com probabilidade p_H por tentativa: é uma \operatorname{Binomial}(n=3,p_H).
  • Logo
f_X(x)=P(X=x)=\binom{3}{x}\,p_H^{\,x}\,(1-p_H)^{\,3-x},\qquad x=0,1,2,3.
  • Substituindo p_H=0,01 e 1-p_H=0,99,
f_X(x)=\binom{3}{x}\,(0,01)^{x}\,(0,99)^{3-x}.
  • Podemos ainda calcular os valores numéricos (úteis na prova):
\begin{aligned} f_X(0)&=(0,99)^3=0,970299,\\\ f_X(1)&=3(0,01)(0,99)^2=0,029403,\\\ f_X(2)&=3(0,01)^2(0,99)=0,000297,\\\ f_X(3)&=(0,01)^3=0,000001. \end{aligned}

Passo 5

Calculando E(X) (letra c) e entendendo a fórmula:
  • Para uma variável binomial X\sim\operatorname{Bin}(n,p_H) vale a fórmula padrão do valor esperado:
E(X)=n\,p_H.
  • Aqui n=3 e p_H=0,01, portanto
E(X)=3\cdot0,01=0,03.
  • Intuição: em média se espera 0,03 bits com alta distorção em 3 bits (valor pequeno porque p_H é pequeno).

Passo 6

Derivando f_{Y\mid 1}(y) — a distribuição de Y dado X=1 (letra d):
  • Condicionar X=1 significa que uma das 3 observações já foi identificada como “alta”; restam 3-1=2 bits onde só podem ocorrer “moderada” ou “baixa”.
  • Dado que ocorreu uma alta, as probabilidades relativas das categorias moderada e baixa entre os bits restantes são renormalizadas:
P(\text{moderada} \mid \text{não alta})=\frac{p_M}{1-p_H}=\frac{0,04}{0,99}, \qquad P(\text{baixa} \mid \text{não alta})=\frac{p_L}{1-p_H}=\frac{0,95}{0,99}.ãã
  • Entre os 2 bits restantes, o número Y de moderadas segue uma binomial com n'=2 e probabilidade \dfrac{p_M}{1-p_H}. Portanto, para y=0,1,2,
f_{Y\mid 1}(y)=P(Y=y\mid X=1)=\binom{2}{y}\left(\frac{0,04}{0,99}\right)^{y}\left(\frac{0,95}{0,99}\right)^{2-y}.
  • Valores numéricos aproximados (para conferir):
\begin{aligned} f_{Y\mid 1}(0)&\approx\left(\frac{0,95}{0,99}\right)^2\approx0,920824,\\\ f_{Y\mid 1}(1)&\approx 2\cdot\frac{0,04}{0,99}\cdot\frac{0,95}{0,99}\approx0,077474,\\\ f_{Y\mid 1}(2)&\approx\left(\frac{0,04}{0,99}\right)^2\approx0,001702. \end{aligned}
(As aproximações somam a 1 dentro de erro de arredondamento.)

Passo 7

Calculando E(Y\mid X=1) (letra e):
  • Para uma binomial \operatorname{Bin}(n',p') vale E(\cdot)=n'p'.
  • Aqui, condicionando X=1, temos n'=2 e p'=\dfrac{0,04}{0,99}. Então
E(Y\mid X=1)=2\cdot\frac{0,04}{0,99}=\frac{0,08}{0,99}\approx0,080808.

Passo 8

Verificando independência entre X e Y (letra f):
  • Um fato geral sobre multinomial: para n fixo e categorias com probabilidades p_i, as contagens X_i satisfazem, para i\neq j,
\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=-n p_i p_j.
  • Aplicando aqui com n=3,\;p_H=0,01,\;p_M=0,04,
\operatorname{Cov}(X,Y)=-3\cdot0,01\cdot0,04=-0,0012\neq0.
  • Como a covariância é diferente de zero, X e Y não são independentes.
  • Intuição simples: se aparecem muitas “altas” sobra menos espaço para “moderadas” (a soma das contagens é fixa), daí dependência negativa.
  • (Como verificação numérica rápida: P(X=0,Y=0)=0,95^3=0,857375, enquanto P(X=0)P(Y=0)=(0,99^3)(0,96^3)\approx0,858; não coincidem exatamente — consistência com não independência.)

Resposta

a) f(x,y)=\frac{3!}{x!\,y!\,(3-x-y)!}\,(0,01)^{x}\,(0,04)^{y}\,(0,95)^{3-x-y},\quad x,y\in\{0,1,2,3\},\;x+y\le3.
b) f_X(x)=\binom{3}{x}\,(0,01)^{x}\,(0,99)^{3-x},\quad x=0,1,2,3.
c) E(X)=3\cdot0,01=0,03.
d) f_{Y\mid 1}(y)=\binom{2}{y}\left(\frac{0,04}{0,99}\right)^{y}\left(\frac{0,95}{0,99}\right)^{2-y},\quad y=0,1,2.
e) E(Y\mid X=1)=2\cdot\frac{0,04}{0,99}=\frac{0,08}{0,99}\approx0,080808.
f) Não; X e Y não são independentes (por exemplo \operatorname{Cov}(X,Y)=-3\cdot0,01\cdot0,04=-0,0012\neq0).

Exercícios relacionados