De quantas formas é possível repartir 11 pirulitos para Gal, Gil e Bel de modo que Gal e Gil recebam pelo menos um pirulito e Bel receba pelo menos dois.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir 11 pirulitos idênticos entre Gal, Gil e Bel, com a restrição de que Gal e Gil recebam pelo menos um e Bel receba pelo menos dois. O conteúdo é o método de “stars and bars” (barras e estrelas) com cotas mínimas.

Passo 2

Seja x o número de pirulitos de Gal, y o de Gil e z o de Bel. As condições são
x+y+z=11,\quad x\ge1,\;y\ge1,\;z\ge2.

Passo 3

Para usar stars and bars, eliminamos as cotas mínimas definindo
x'=x-1,\quad y'=y-1,\quad z'=z-2,
de modo que x',y',z'\ge0 e
x'+y'+z'=11-(1+1+2)=7.

Passo 4

O número de soluções não negativas da equação x'+y'+z'=7 é dado por
\binom{7+3-1}{3-1}=\binom{9}{2}=36.

Resposta

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