Seja
a função definida por
Seja
a extensão impar e periódica de período 4 da função f . Esboce o gráfico de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no intervalo
de forma que:
O exercício quer que a gente faça a extensão impar e periódica dessa função, com período 4, e depois desenhe o gráfico dessa extensão no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender o que é extensão impar e como tornar a função periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma extensão impar de uma função. Uma função $ \tilde{f} $ é ímpar se satisfaz:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem. Então, para fazer a extensão impar de $ f $ definida em
, vamos definir $ \tilde{f}(x) $ para $ x $ negativo usando essa propriedade.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a periodicidade com período 4. Isso significa que a função se repete a cada 4 unidades ao longo do eixo x. Então, a definição da função no intervalo original
se repetirá em
,
, etc., respeitando a simetria ímpar.
Passo 4
Vamos construir a função passo a passo:
-
No intervalo
: $ f(x) = x $. -
No intervalo
: $ f(x) = -2 $. -
Extensão impar para
: $ \tilde{f}(x) = -f(-x) $. - Para $ x $ em
: $ \tilde{f}(x) = -f(-x) = -f(|x|) $. Como , $ f(|x|) = -2 $, então $ \tilde{f}(x) = 2 $. - Para $ x $ em
: $ \tilde{f}(x) = -f(-x) = -f(|x|) $. Como , $ f(|x|) = |x| $, então $ \tilde{f}(x) = -|x| = x $.
- Para $ x $ em
-
Período 4:
- Para $ x $ em
, a função se repete: - Para $ x $ em
: $ \tilde{f}(x) = f(x - 4) = f(x - 4 + 4) = f(x) $, mas considerando a periodicidade e a extensão ímpar. - Seguindo a mesma lógica, o gráfico se repetirá com a mesma forma nos intervalos seguintes.
- Para $ x $ em
- Para $ x $ em
Passo 5
Vamos resumir os segmentos para facilitar o esboço:
-
: $ \tilde{f}(x) = 2 $ -
: $ \tilde{f}(x) = x $ -
: $ \tilde{f}(x) = x $ -
: $ \tilde{f}(x) = -2 $ -
: $ \tilde{f}(x) = 2 $ (repetição) -
: $ \tilde{f}(x) = -x + 4 $ (ajustando para o período)
Passo 6
Com todos esses segmentos definidos, podemos agora desenhar o gráfico:
- De
a : Linha horizontal no valor 2. - De
a : Linha reta crescente de a , passando pelo ponto de origem. - De
a : Linha reta crescente de a . - De
a : Linha horizontal no valor -2. - De
a : Repete o segmento de a , ou seja, linha horizontal no valor 2. - De
a : Repete o segmento de a , ajustando para o período.
Resposta
O gráfico da função $ \tilde{f} $ no intervalo
consiste em segmentos de linhas retas horizontais e inclinadas, seguindo a extensão ímpar e a periodicidade de período 4. Veja abaixo uma representação simplificada:
Para esboçar, você deve desenhar esses segmentos no gráfico, garantindo que a função seja ímpar e se repita a cada 4 unidades.