Seja f:[0,2] R a função definida por
f(x)=cl x & se 0 <= x<1 -2 & se 1 <= x <= 2
Seja tildef a extensão impar e periódica de período 4 da função f . Esboce o gráfico de tildef no intervalo [-2,4].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no intervalo f de forma que:
[0, 2]
O exercício quer que a gente faça a extensão impar e periódica dessa função, com período 4, e depois desenhe o gráfico dessa extensão no intervalo f(x) = x & se 0 <= x < 1 -2 & se 1 <= x <= 2 . Para isso, vamos precisar entender o que é extensão impar e como tornar a função periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma extensão impar de uma função. Uma função $ \tilde{f} $ é ímpar se satisfaz:
tildef
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem. Então, para fazer a extensão impar de $ f $ definida em tildef(-x) = -tildef(x) , vamos definir $ \tilde{f}(x) $ para $ x $ negativo usando essa propriedade.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a periodicidade com período 4. Isso significa que a função se repete a cada 4 unidades ao longo do eixo x. Então, a definição da função no intervalo original [0, 2] se repetirá em [2, 4], [-2, 0], etc., respeitando a simetria ímpar.

Passo 4

Vamos construir a função passo a passo:
  1. No intervalo [0, 1): $ f(x) = x $.
  2. No intervalo f(x) = x : $ f(x) = -2 $.
  3. Extensão impar para [1, 2]: $ \tilde{f}(x) = -f(-x) $.
    • Para $ x $ em f(x) = -2 : $ \tilde{f}(x) = -f(-x) = -f(|x|) $. Como [-2, 0), $ f(|x|) = -2 $, então $ \tilde{f}(x) = 2 $.
    • Para $ x $ em tildef(x) = -f(-x) : $ \tilde{f}(x) = -f(-x) = -f(|x|) $. Como x , $ f(|x|) = |x| $, então $ \tilde{f}(x) = -|x| = x $.
  4. Período 4:
    • Para $ x $ em [-2, -1), a função se repete:
      • Para $ x $ em tildef(x) = -f(-x) = -f(|x|) : $ \tilde{f}(x) = f(x - 4) = f(x - 4 + 4) = f(x) $, mas considerando a periodicidade e a extensão ímpar.
      • Seguindo a mesma lógica, o gráfico se repetirá com a mesma forma nos intervalos seguintes.

Passo 5

Vamos resumir os segmentos para facilitar o esboço:
  • [-2, -1): $ \tilde{f}(x) = 2 $
  • tildef(x) = 2 : $ \tilde{f}(x) = x $
  • [-1, 0): $ \tilde{f}(x) = x $
  • tildef(x) = x : $ \tilde{f}(x) = -2 $
  • [0, 1): $ \tilde{f}(x) = 2 $ (repetição)
  • tildef(x) = x : $ \tilde{f}(x) = -x + 4 $ (ajustando para o período)

Passo 6

Com todos esses segmentos definidos, podemos agora desenhar o gráfico:
  1. De -2 a -1: Linha horizontal no valor 2.
  2. De -1 a 0: Linha reta crescente de -1 a 0, passando pelo ponto de origem.
  3. De 0 a 1: Linha reta crescente de 0 a 1.
  4. De 1 a 2: Linha horizontal no valor -2.
  5. De 2 a 3: Repete o segmento de -2 a -1, ou seja, linha horizontal no valor 2.
  6. De 3 a 4: Repete o segmento de -1 a 0, ajustando para o período.

Resposta

O gráfico da função $ \tilde{f} $ no intervalo tildef consiste em segmentos de linhas retas horizontais e inclinadas, seguindo a extensão ímpar e a periodicidade de período 4. Veja abaixo uma representação simplificada:
[-2, 4]
Para esboçar, você deve desenhar esses segmentos no gráfico, garantindo que a função seja ímpar e se repita a cada 4 unidades.

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